Dérivation : nombre dérivé et tangente

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1
La tangente à une courbe au point d'abscisse a a pour équation $y = -2x + 5$ . Que vaut le nombre dérivé f'(a) ?
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Le nombre dérivé f'(a) est, par définition, le coefficient directeur (la pente) de la tangente au point d'abscisse a.
Dans l'équation $y = -2x + 5$ , écrite sous la forme $y = mx + p$ , le coefficient directeur est $m = -2$ .
Donc $f'(a) = -2$ .
Le nombre $p = 5$ est l'ordonnée à l'origine : il ne donne pas la pente, il ne sert pas ici.
2
Pour $f(x) = x^{3}$ , on admet que $f'(a) = 3a^{2}$ . Calcule f'(2) et $f'(-1)$ .
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On applique la formule $f'(a) = 3a^{2}$ .
$f'(2) = 3\times 2^{2} = 3\times 4 = 12$ .
$f'(-1) = 3\times (-1)^{2} = 3\times 1 = 3$ .
Attention au carré : $(-1)^{2} = 1$ (le carré rend positif), donc $f'(-1) = 3$ et non $-3$ . Les deux pentes sont positives : la courbe de $x^{3}$ « monte » en ces deux points.
3
Pour $f(x) = x^{2}$ , on a montré que $f'(a) = 2a$ . Calcule f'(5) et $f'(-1)$ .
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4
Soit $f(x) = x^{2}$ . Calcule le taux de variation de f entre $a = -2$ et $b = 3$ .
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5
Soit $f(x) = x^{2} + 1$ . Calcule le taux de variation de f entre $a = 0$ et $b = 2$ .
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6
Soit $f(x) = x^{2}$ . Calcule le taux de variation de f entre $a = 1$ et $b = 4$ .
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7
Soit $f(x) = 3x - 2$ (fonction affine). Calcule son taux de variation entre $a = -1$ et $b = 2$ . Que remarques-tu ?
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8
Soit $f(x) = x^{2}$ . On donne $f(4) = 16$ et $f'(4) = 8$ . À l'aide de l'approximation affine, estime f(4,01), c'est-à-dire $4{,}01^{2}$ .
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9
Soit $f(x) = x^{2}$ . On sait que $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$ . Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 3.
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10
Soit $f(x) = x^{2}$ . Écris le taux d'accroissement $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ , simplifie-le, puis donne le nombre dérivé f'(2).
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