Dérivation : fonction dérivée et variations
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 6x² + 9x − 2.
a) Calcule f'(x).
b) Factorise f'(x) et étudie son signe.
c) Dresse le tableau de variations et donne les extremums locaux.✅ Voir le corrigéoffert
a) f'(x) = 3x² − 12x + 9.
b) On factorise : f'(x) = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3).
Les racines sont x = 1 et x = 3. Le produit (x − 1)(x − 3) est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
Donc f'(x) > 0 sur ]−∞;1[ et sur ]3;+∞[ ; f'(x) < 0 sur ]1;3[.
c) f croît sur ]−∞;1], décroît sur [1;3], croît sur [3;+∞[.
Maximum local en x = 1 : f(1) = 1 − 6 + 9 − 2 = 2.
Minimum local en x = 3 : f(3) = 27 − 54 + 27 − 2 = −2.
Vérification : f'(1) = 3 − 12 + 9 = 0 et f'(3) = 27 − 36 + 9 = 0, ce qui confirme les positions des extremums. - 2
On découpe aux quatre coins d'une feuille carrée de 12 cm de côté des petits carrés de côté x, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Le volume est V(x) = x(12 − 2x)².
a) Donne le domaine possible pour x.
b) Développe puis dérive V(x).
c) Détermine la valeur de x qui rend le volume maximal et calcule ce volume.✅ Voir le corrigéoffert
a) Il faut x > 0 (on découpe vraiment) et 12 − 2x > 0 (il reste du carton), donc 0 < x < 6.
b) On développe : (12 − 2x)² = 144 − 48x + 4x², donc V(x) = 144x − 48x² + 4x³.
V'(x) = 144 − 96x + 12x² = 12(x² − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6).
c) Sur ]0;6[, seule la racine x = 2 est dans l'intervalle. Le produit (x − 2)(x − 6) est positif pour x < 2 et négatif pour 2 < x < 6.
Donc V'(x) > 0 sur ]0;2[ et V'(x) < 0 sur ]2;6[ : V atteint son maximum en x = 2.
Volume maximal : V(2) = 2 × (12 − 4)² = 2 × 8² = 2 × 64 = 128 cm³. - 3
Soit f définie pour x ≠ 1 par f(x) = .
a) Calcule f'(x).
b) Étudie le signe du numérateur de f'(x).
c) Conclus sur les variations de f.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Le bénéfice d'un atelier, en milliers d'euros, pour x centaines d'objets vendus, est B(x) = −x³ + 9x² − 15x − 1 sur l'intervalle [0;7].
a) Calcule B'(x).
b) Factorise et étudie son signe.
c) Détermine la production qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Soit f définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x + .
a) Calcule f'(x) et mets-la sous forme d'un seul quotient.
b) Étudie le signe de f'(x).
c) Montre que f admet un minimum et calcule-le.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Soit f définie sur ℝ par f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 5.
a) Calcule et factorise f'(x).
b) Dresse le tableau de variations avec les extremums locaux.
c) En observant le comportement de f pour les grandes valeurs de x et son tableau de variations, détermine le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Un agriculteur veut clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur droit (le mur sert de côté, il n'y a donc pas de clôture de ce côté). Il dispose de 100 m de clôture.
a) En notant x la longueur d'un côté perpendiculaire au mur, exprime l'aire A(x) et son domaine.
b) Calcule A'(x).
c) Détermine les dimensions qui rendent l'aire maximale.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Soit f définie pour x ≠ −1 par f(x) = .
a) Calcule f'(x) et montre que son numérateur est x(x + 2).
b) Étudie le signe de f'(x).
c) Donne les variations de f et ses extremums locaux.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On fabrique une boîte à base carrée de côté x et de hauteur h, sans couvercle, dont le volume doit être 32 cm³. On cherche à utiliser le moins de matière possible (minimiser l'aire totale de carton).
a) Exprime h en fonction de x, puis l'aire A(x).
b) Calcule A'(x).
c) Détermine les dimensions qui minimisent l'aire, et calcule cette aire.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x⁴ − 2x² + 3.
a) Calcule f'(x) et factorise-la complètement.
b) Étudie son signe.
c) Dresse le tableau de variations et donne les trois extremums locaux.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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