Dérivation : fonction dérivée et variations

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1
Soit f définie pour $x \ne 1$ par $f(x) = \frac{(x^{2} - 3)}{(x - 1)}$ .
Dresse le tableau de variations de f.
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a) C'est un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u = x^{2} - 3 (u' = 2x)$ et $v = x - 1 (v' = 1)$ .
$f'(x) = \frac{(2x(x - 1) - (x^{2} - 3)\times 1)}{(x - 1)^{2}} = \frac{(2x^{2} - 2x - x^{2} + 3)}{(x - 1)^{2}} = \frac{(x^{2} - 2x + 3)}{(x - 1)^{2}}$ .
b) Le numérateur est $x^{2} - 2x + 3$ . Son discriminant vaut $\Delta = (-2)^{2} - 4\times 1\times 3 = 4 - 12 = -8 < 0$ , et le coefficient de $x^{2}$ est positif : le numérateur est donc strictement positif pour tout x.
c) Le dénominateur $(x - 1)^{2}$ est aussi positif. Donc $f'(x) > 0$ partout où f est définie.
F est strictement croissante sur $]-\infty \,;\, 1[$ et sur $]1 \,;\, +\infty [$ (attention : pas sur ℝ entier, à cause de la valeur interdite $x = 1$ ).
2
On découpe aux quatre coins d'une feuille carrée de 12 cm de côté des petits carrés de côté x, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Le volume est $V(x) = x(12 - 2x)^{2}$ .
Détermine la valeur de x qui rend le volume maximal et calcule ce volume.
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a) Il faut $x > 0$ (on découpe vraiment) et $12 - 2x > 0$ (il reste du carton), donc $0 < x < 6$ .
b) On développe : $(12 - 2x)^{2} = 144 - 48x + 4x^{2}$ , donc $V(x) = 144x - 48x^{2} + 4x^{3}$ .
$V'(x) = 144 - 96x + 12x^{2} = 12(x^{2} - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6)$ .
c) Sur $]0 \,;\, 6[$ , seule la racine $x = 2$ est dans l'intervalle. Le produit $(x - 2)(x - 6)$ est positif pour $x < 2$ et négatif pour $2 < x < 6$ .
Donc $V'(x) > 0$ sur $]0 \,;\, 2[$ et $V'(x) < 0$ sur $]2 \,;\, 6[$ : V atteint son maximum en $x = 2$ .
Volume maximal : $V(2) = 2 \times (12 - 4)^{2} = 2 \times 8^{2} = 2 \times 64 = 128\,\text{cm}^{3}$ .
3
Soit f définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = x + \frac{9}{x}$ .
Montre que f admet un minimum, et donne sa valeur.
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4
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 2$ .
Dresse le tableau de variations et donne les extremums locaux.
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5
Un agriculteur veut clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur droit (le mur sert de côté, il n'y a donc pas de clôture de ce côté). Il dispose de 100 m de clôture.
Détermine les dimensions qui rendent l'aire maximale.
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6
On fabrique une boîte à base carrée de côté x et de hauteur h, sans couvercle, dont le volume doit être $32\,\text{cm}^{3}$ . On cherche à utiliser le moins de matière possible (minimiser l'aire totale de carton).
Détermine les dimensions qui minimisent l'aire, et calcule cette aire.
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7
Soit f définie pour $x \ne -1$ par $f(x) = \frac{(x^{2} + x + 1)}{(x + 1)}$ .
Donne les variations de f et ses extremums locaux.
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8
Le bénéfice d'un atelier, en milliers d'euros, pour x centaines d'objets vendus, est $B(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 15x - 1$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 7]$ .
Détermine la production qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice.
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9
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{4} - 2x^{2} + 3$ .
Dresse le tableau de variations et donne les trois extremums locaux.
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10
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 5$ .
En observant le comportement de f pour les grandes valeurs de x et son tableau de variations, détermine le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ .
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