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Dérivation : fonction dérivée et variations

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  1. 1

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (2x + 1)(x² − 3).

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    C'est un produit u·v. On pose :
    u = 2x + 1, donc u' = 2.
    v = x² − 3, donc v' = 2x.
    Formule : (u·v)' = u'·v + u·v'.
    f'(x) = 2 × (x² − 3) + (2x + 1) × 2x.
    f'(x) = 2x² − 6 + 4x² + 2x.
    Réponse : f'(x) = 6x² + 2x − 6.

  2. 2

    Dérive la fonction f définie sur ]−2;+∞[ par f(x) = (x−1)(x+2)\frac{(x - 1)}{(x + 2)}.

    ✅ Voir le corrigéoffert

    C'est un quotient uv\frac{u}{v}. On pose :
    u = x − 1, donc u' = 1.
    v = x + 2, donc v' = 1.
    Formule : (uv\frac{u}{v})' = (u′⋅v−u⋅v′)v2\frac{(u'\cdot v - u\cdot v')}{v^{2}}.
    f'(x) = (1×(x+2)−(x−1)×1)(x+2)2\frac{(1\times (x + 2) - (x - 1)\times 1)}{(x + 2)^{2}} = (x+2−x+1)(x+2)2\frac{(x + 2 - x + 1)}{(x + 2)^{2}} = 3(x+2)2\frac{3}{(x + 2)^{2}}.
    Réponse : f'(x) = 3(x+2)2\frac{3}{(x + 2)^{2}}. Comme un carré est positif, f'(x) > 0 : f est croissante.

  3. 3

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (3x − 2)² (indication : écris (3x − 2)² comme un produit).

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  4. 4

    Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² − 6x + 5. Étudie ses variations et dresse son tableau de variations.

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  5. 5

    Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Étudie le signe de f' et donne les extremums locaux de f.

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  6. 6

    Soit f définie sur ℝ privé de 0 par f(x) = x + 4x\frac{4}{x}. Calcule f' puis étudie son signe.

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  7. 7

    Dérive la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x) = (2x2+1)x\frac{(2x^{2} + 1)}{x}.

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  8. 8

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 5(x2+1)\frac{5}{(x^{2} + 1)} puis étudie son sens de variation.

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  9. 9

    Un rectangle a un périmètre de 40 cm. On note x la longueur d'un côté. Exprime son aire A(x), puis trouve les dimensions qui rendent l'aire maximale.

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  10. 10

    Soit f définie sur ℝ par f(x) = 2x³ − 9x² + 12x. Étudie ses variations et donne ses extremums locaux.

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