Dérivation : fonction dérivée et variations

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1
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = (3x - 2)^{2}$ (indication : écris $(3x - 2)^{2}$ comme un produit).
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On écrit $f(x) = (3x - 2)(3x - 2)$ , c'est un produit $u\cdot v$ avec $u = v = 3x - 2$ .
$u' = 3$ et $v' = 3$ .
Formule : $(u\cdot v)$ ' $= u'\cdot v + u\cdot v'$ .
$f'(x) = 3 \times (3x - 2) + (3x - 2) \times 3 = 2 \times 3 \times (3x - 2) = 6(3x - 2)$ .
Réponse : $f'(x) = 18x - 12$ .
2
Dérive la fonction f définie sur $]-2 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = \frac{(x - 1)}{(x + 2)}$ .
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C'est un quotient $\frac{u}{v}$ . On pose :
$u = x - 1$ , donc $u' = 1$ .
$v = x + 2$ , donc $v' = 1$ .
Formule : $(\frac{u}{v})$ ' $= \frac{(u'\cdot v - u\cdot v')}{v^{2}}$ .
$f'(x) = \frac{(1\times (x + 2) - (x - 1)\times 1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{(x + 2 - x + 1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{3}{(x + 2)^{2}}$ .
Réponse : $f'(x) = \frac{3}{(x + 2)^{2}}$ . Comme un carré est positif, $f'(x) > 0$ : f est croissante.
3
Soit f définie sur ℝ privé de 0 par $f(x) = x + \frac{4}{x}$ . Calcule f' puis étudie son signe.
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4
Dérive la fonction f définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = \frac{(2x^{2} + 1)}{x}$ .
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5
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 3x$ . Étudie le signe de f' et donne les extremums locaux de f.
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6
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ . Étudie ses variations et dresse son tableau de variations.
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7
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = (2x + 1)(x^{2} - 3)$ .
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8
Un rectangle a un périmètre de 40 cm. On note x la longueur d'un côté. Exprime son aire A(x), puis trouve les dimensions qui rendent l'aire maximale.
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9
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = 2x^{3} - 9x^{2} + 12x$ . Étudie ses variations et donne ses extremums locaux.
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10
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \frac{5}{(x^{2} + 1)}$ puis étudie son sens de variation.
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