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Dérivation : fonction dérivée et variations

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  1. 1

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x6f(x) = x^{6}.

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    On utilise la dérivée de référence : si f(x)=xnf(x) = x^{n}, alors f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n\cdot x^{n-1}.
    Ici n=6n = 6, donc f′(x)=6⋅x6−1f'(x) = 6\cdot x^{6-1}.
    Réponse : f′(x)=6x5f'(x) = 6x^{5}.

  2. 2

    Dérive la fonction f définie sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [ par f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x}.

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    On écrit f(x)=2×1xf(x) = 2 \times \frac{1}{x}, donc f=k⋅uf = k\cdot u avec k=2k = 2 et u=1xu = \frac{1}{x}.
    La dérivée de référence est (1x)(\frac{1}{x})' =−1x2= -\frac{1}{x^{2}}.
    Donc f′(x)=2×(−1x2)=−2x2f'(x) = 2 \times (-\frac{1}{x^{2}}) = -\frac{2}{x^{2}}.
    Réponse : f′(x)=−2x2f'(x) = -\frac{2}{x^{2}} (valable aussi sur ]−∞ ; 0[]-\infty \,;\, 0[).

  3. 3

    Dérive la fonction f définie sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [ par f(x)=−3xf(x) = -3\sqrt{x}.

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  4. 4

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x)=−5x3f(x) = -5x^{3}.

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  5. 5

    Dérive la fonction f définie sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [ par f(x)=1x+x2f(x) = \frac{1}{x} + x^{2}.

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  6. 6

    Dérive la fonction f définie sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty [ par f(x)=x−4x+1f(x) = \sqrt{x} - 4x + 1.

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  7. 7

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x4−x3+2xf(x) = x^{4} - x^{3} + 2x.

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  8. 8

    On sait que la dérivée d'une fonction f est f′(x)=2x−8f'(x) = 2x - 8. Étudie le signe de f' et déduis-en le sens de variation de f.

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  9. 9

    Dérive la fonction f définie sur ℝ par f(x)=3x2−5x+4f(x) = 3x^{2} - 5x + 4.

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  10. 10

    Soit f définie sur ℝ par f(x)=x2−10x+3f(x) = x^{2} - 10x + 3. Calcule f', trouve la valeur de x qui annule f' et précise s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

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