Le second degré

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1
Soit $f(x) = x^{2} - 2x + m$ , où m est un nombre réel.
Une racine double ? Aucune racine réelle ?
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a) $a = 1$ , $b = -2$ , $c = m$ . $\Delta = (-2)^{2} - 4 \times 1 \times m = 4 - 4m$ .
b) Deux racines distinctes $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow 4 > 4m \Leftrightarrow m < 1$ .
c) Racine double $\Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .
Aucune racine réelle $\Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 1$ .
Bilan : si $m < 1$ , deux racines ; si $m = 1$ , une racine double égale à 1 ; si $m > 1$ , aucune racine réelle.
2
L'équation $2x^{2} + bx - 6 = 0$ admet 3 pour solution.
À l'aide du produit des racines, trouver l'autre solution.
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a) Comme 3 est solution, on remplace x par 3 : $2 \times 3^{2} + b \times 3 - 6 = 0$ .
$18 + 3b - 6 = 0$ , soit $3b + 12 = 0$ , donc $3b = -12$ et $b = -4$ .
b) L'équation est $2x^{2} - 4x - 6 = 0$ . Le produit des racines vaut $P = \frac{c }{ a} = \frac{-6 }{ 2} = -3$ .
Si x' désigne l'autre racine : $3 \times x' = -3$ , donc $x' = -1$ .
c) Somme des racines : $S = \frac{-b }{ a} = \frac{4 }{ 2} = 2$ . Or $3 + (-1) = 2$ .
L'autre solution est $-1$ .
3
Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une aire de $40\,\text{cm}^{2}$ .
Donner les dimensions du rectangle.
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4
Une parabole d'équation $y = ax^{2} + bx + c$ a pour sommet le point $S(2 \,;\, -1)$ et passe par le point $A(0 \,;\, 3)$ .
Résoudre $f(x) = 0$ .
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5
On considère l'expression $A(x) = x^{2} - 6x - 7$ .
Résoudre $A(x) = 0$ de deux façons différentes.
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6
Résoudre le système d'inéquations d'inconnue réelle x :
x² − 4 ≤ 0 et x² − x − 2 > 0.
Donner l'ensemble des solutions communes.
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7
Soit l'équation $x^{2} + mx + m + 3 = 0$ , où m est un paramètre réel.
Pour quelles valeurs de m l'équation admet-elle une racine double, et que vaut la racine dans chaque cas ?
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8
On cherche les nombres réels x non nuls vérifiant $x + \frac{1 }{ x} = \frac{10 }{ 3}$ .
Vérifier chacune des solutions dans l'égalité de départ.
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9
On pose f(x) = x² − 5x + 6 et g(x) = −x² + 4.
En dressant un tableau de signes, résoudre l'inéquation f(x) × g(x) > 0.
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10
On lance une balle verticalement. Sa hauteur, en mètres, après t secondes est $h(t) = -5t^{2} + 20t$ (pour $t \ge 0$ ).
Pendant quelle durée la balle reste-t-elle à une hauteur supérieure ou égale à 15 m ?
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