Le second degré

Soit f(x) = x² − 2x + m, où m est un nombre réel.
a) Exprimer le discriminant Δ en fonction de m.
b) Pour quelles valeurs de m l'équation f(x) = 0 a-t-elle deux racines distinctes ?
c) Une racine double ? Aucune racine réelle ?

Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une aire de 40 cm².
a) En notant L et l ses dimensions, écrire deux relations traduisant l'énoncé.
b) Montrer que L et l sont les racines d'une équation du second degré, puis la résoudre.
c) Donner les dimensions du rectangle.

Une parabole d'équation y = ax² + bx + c a pour sommet le point S(2 ; −1) et passe par le point A(0 ; 3).
a) En utilisant la forme canonique, déterminer a.
b) En déduire l'expression développée de f(x).
c) Résoudre f(x) = 0.

On pose f(x) = x² − 5x + 6 et g(x) = −x² + 4.
a) Étudier le signe de f(x) selon les valeurs de x.
b) Étudier le signe de g(x) selon les valeurs de x.
c) En dressant un tableau de signes, résoudre l'inéquation f(x) × g(x) > 0.

On lance une balle verticalement. Sa hauteur, en mètres, après t secondes est h(t) = −5t² + 20t (pour t ≥ 0).
a) Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ?
b) À quel instant la balle retombe-t-elle au sol ?
c) Pendant quelle durée la balle reste-t-elle à une hauteur supérieure ou égale à 15 m ?

On considère l'expression A(x) = x² − 6x − 7.
a) Vérifier que A(x) = (x − 3)² − 16.
b) En déduire une factorisation de A(x) à l'aide d'une identité remarquable.
c) Résoudre A(x) = 0 de deux façons différentes.

L'équation 2x² + bx − 6 = 0 admet 3 pour solution.
a) Déterminer la valeur de b.
b) À l'aide du produit des racines, trouver l'autre solution.
c) Vérifier le résultat en utilisant la somme des racines.

Résoudre le système d'inéquations d'inconnue réelle x :
x² − 4 ≤ 0 et x² − x − 2 > 0.
a) Résoudre la première inéquation.
b) Résoudre la seconde.
c) Donner l'ensemble des solutions communes.

Soit l'équation x² + mx + m + 3 = 0, où m est un paramètre réel.
a) Écrire le discriminant Δ en fonction de m.
b) Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle une racine double ?
c) Dans chacun de ces cas, donner la racine double.

On cherche les nombres réels x non nuls vérifiant x + $\frac{1 }{ x}$ = $\frac{10 }{ 3}$.
a) Montrer que le problème se ramène à l'équation 3x² − 10x + 3 = 0.
b) Résoudre cette équation.
c) Vérifier chacune des solutions dans l'égalité de départ.