Suites : généralités

🟠 Difficile

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1
On considère la suite définie par $u_n = 2n^{2} - 5n$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ .
b) Détermine le sens de variation de la suite.
Voir le corrigéoffert
a) $u_{n+1} = 2(n+1)^{2} - 5(n+1) = 2n^{2} + 4n + 2 - 5n - 5 = 2n^{2} - n - 3$ .
$u_{n+1} - u_n = (2n^{2} - n - 3) - (2n^{2} - 5n) = 4n - 3$ .

b) Pour $n = 0$ : $4 \times 0 - 3 = -3 < 0$ , la suite décroît d'abord.
Pour $n \ge 1$ : $4n - 3 \ge 1 > 0$ , la suite croît ensuite.
Elle est donc décroissante du rang 0 au rang 1, puis strictement croissante.
Contrôle : $u_0 = 0$ , $u_1 = -3$ , $u_2 = -2$ , $u_3 = 3$ .
2
On considère la suite définie par $u_n = n(n + 3)$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ et simplifie.
b) Déduis-en le sens de variation de la suite.
Voir le corrigéoffert
a) $u_{n+1} = (n + 1)(n + 4) = n^{2} + 5n + 4$ .
$u_n = n^{2} + 3n$ .
Différence : $u_{n+1} - u_n = (n^{2} + 5n + 4) - (n^{2} + 3n) = 2n + 4$ .

b) Pour tout entier $n \ge 0$ , on a $2n + 4 \ge 4 > 0$ .
La différence est donc toujours strictement positive.
La suite est strictement croissante.
Contrôle : $u_0 = 0$ , $u_1 = 4$ , $u_2 = 10$ , $u_3 = 18$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On considère la suite définie par $u_n = n^{2} - 8n + 5$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ .
b) Étudie le sens de variation de la suite.
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4
Une suite est définie pour $n \ge 0$ par $u_n = 100 - n^{2}$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ , puis déduis-en le sens de variation.
b) À partir de quel rang les termes deviennent-ils négatifs ?
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5
Le tableau d'une suite $(u_n)$ donne : $u_0 = 7$ ; $u_1 = 3$ ; $u_2 = 1$ ; $u_3 = 3$ ; $u_4 = 7$ .
a) Cette suite est-elle croissante ? décroissante ?
b) Que peut-on affirmer avec certitude ?
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6
On considère la suite définie par $u_n = n^{2} - 30$ .
a) À partir de quel rang les termes dépassent-ils 100 ?
b) À partir de quel rang dépassent-ils 1 000 ?
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7
On considère la suite définie par $u_n = \frac{n}{n + 2}$ .
a) Calcule $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_{10}$ .
b) La suite semble-t-elle croissante ? Vers quelle valeur semble-t-elle tendre ?
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8
On considère la suite définie par $u_n = 4 \times (-1)^{n} + n$ .
a) Calcule les cinq premiers termes, du rang 0 au rang 4.
b) La suite est-elle monotone ? Justifie.
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9
Une suite est définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n^{2} + 3$ .
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
b) Peut-on obtenir $u_{10}$ directement ? Explique la différence avec une formule explicite.
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10
Une suite est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 0{,}4u_n + 9$ .
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ , arrondis au centième.
b) Conjecture le sens de variation et la limite éventuelle.
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