Suites : généralités

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1
Une suite est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 0{,}4u_n + 9$ .
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ , arrondis au centième.
b) Conjecture le sens de variation et la limite éventuelle.
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a) $u_1 = 0{,}4 \times 3 + 9 = 10{,}2$ .
$u_2 = 0{,}4 \times 10{,}2 + 9 = 13{,}08$ .
$u_3 = 0{,}4 \times 13{,}08 + 9 \approx 14{,}23$ .
$u_4 = 0{,}4 \times 14{,}23 + 9 \approx 14{,}69$ .

b) Les termes augmentent : la suite semble croissante.
Mais les écarts diminuent rapidement : $7{,}2$ puis $2{,}88$ puis $1{,}15$ puis $0{,}46$ .
Elle semble se stabiliser autour de 15.
On peut le vérifier : si $u_n = 15$ , alors $u_{n+1} = 0{,}4 \times 15 + 9 = 15$ également.
2
Une suite est définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n^{2} + 3$ .
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
b) Peut-on obtenir $u_{10}$ directement ? Explique la différence avec une formule explicite.
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a) $u_1 = 1 + 3 = 4$ .
$u_2 = 16 + 3 = 19$ .
$u_3 = 361 + 3 = 364$ .

b) Non, pas directement : la relation est une formule de récurrence.
Chaque terme se calcule à partir du précédent, et de lui seul.
Pour obtenir $u_{10}$ , il faut donc calculer d'abord $u_4$ , $u_5$ , …, $u_9$ .
Une formule explicite du type $u_n = f(n)$ permettrait au contraire un calcul direct.
Ici les valeurs explosent : $u_4 = 364^{2} + 3 = 132\,499$ .
3
On considère la suite définie par $u_n = n(n + 3)$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ et simplifie.
b) Déduis-en le sens de variation de la suite.
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4
On considère la suite définie par $u_n = n^{2} - 8n + 5$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ .
b) Étudie le sens de variation de la suite.
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5
Le tableau d'une suite $(u_n)$ donne : $u_0 = 7$ ; $u_1 = 3$ ; $u_2 = 1$ ; $u_3 = 3$ ; $u_4 = 7$ .
a) Cette suite est-elle croissante ? décroissante ?
b) Que peut-on affirmer avec certitude ?
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6
On considère la suite définie par $u_n = 4 \times (-1)^{n} + n$ .
a) Calcule les cinq premiers termes, du rang 0 au rang 4.
b) La suite est-elle monotone ? Justifie.
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7
On considère la suite définie par $u_n = n^{2} - 30$ .
a) À partir de quel rang les termes dépassent-ils 100 ?
b) À partir de quel rang dépassent-ils 1 000 ?
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8
On considère la suite définie par $u_n = \frac{n}{n + 2}$ .
a) Calcule $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_{10}$ .
b) La suite semble-t-elle croissante ? Vers quelle valeur semble-t-elle tendre ?
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9
Une suite est définie par $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = u_n - 7$ .
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ , puis donne une formule explicite de $u_n$ .
b) À partir de quel rang les termes deviennent-ils négatifs ?
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10
On considère la suite définie par $u_n = 2n^{2} - 5n$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_n$ .
b) Détermine le sens de variation de la suite.
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