Suites : généralités

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1
On définit la suite par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$ .
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ .
b) Donne une expression de $u_n$ sous la forme d'un carré ajouté à un nombre, et vérifie-la sur $u_4$ .
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a) $u_1 = u_0 + 2\times 0 + 1 = 5 + 1 = 6$ .
$u_2 = u_1 + 2\times 1 + 1 = 6 + 3 = 9$ .
$u_3 = u_2 + 2\times 2 + 1 = 9 + 5 = 14$ .
$u_4 = u_3 + 2\times 3 + 1 = 14 + 7 = 21$ .
b) Je compare les termes 5, 6, 9, 14, 21 aux carrés 0, 1, 4, 9, 16 (soit $n^{2}$ ) : chaque terme vaut $n^{2} + 5$ .
Conjecture : $u_n = n^{2} + 5$ .
c) Pour $n = 4$ : $n^{2} + 5 = 16 + 5 = 21$ , ce qui correspond bien à $u_4 = 21$ trouvé en a). La conjecture est vérifiée pour $u_4$ .
2
On définit la suite par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$ .
Conjecture une formule explicite pour $u_n$ .
Voir le corrigéoffert
a) $u_1 = \frac{u_0}{1 + u_0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ .
$u_2 = \frac{u_1}{1 + u_1}$ : le dénominateur vaut $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ , donc $u_2 = \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .
$u_3 = \frac{u_2}{1 + u_2}$ : le dénominateur vaut $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ , donc $u_3 = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ .
b) Les termes sont 1 ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{4}$ , c'est-à-dire $\frac{1}{0 + 1}$ ; $\frac{1}{1 + 1}$ ; $\frac{1}{2 + 1}$ ; $\frac{1}{3 + 1}$ .
Conjecture : $u_n = \frac{1}{n + 1}$ .
c) Par la récurrence : le dénominateur vaut $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ , donc $u_4 = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ .
Par la conjecture : $u_4 = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$ . Les deux résultats coïncident.
Remarque : la suite est décroissante et ses termes se rapprochent de 0.
3
On définit deux suites par $u_n = n^{2}$ et $v_n = 2n + 15$ .
Détermine le premier rang à partir duquel $u_n$ est strictement supérieur à $v_n$ .
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4
On considère la suite définie par $u_n = 2n^{2} - 5n + 1$ .
Détermine le premier rang pour lequel $u_n$ dépasse 100.
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5
On considère la suite définie pour $n \ge 0$ par $u_n = \frac{(-1)^{n}}{n + 1}$ .
Que peux-tu dire de la distance de $u_n$ à 0 quand n grandit ?
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6
On définit la suite par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ .
Les termes semblent se stabiliser autour d'une valeur ℓ. Trouve ℓ en résolvant $ℓ = \sqrt{ℓ + 6}$ .
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7
On considère la suite définie par $u_n = n^{2} - 8n + 3$ .
Pour quels rangs les termes sont-ils strictement positifs ?
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8
On définit une suite par ses deux premiers termes $u_0 = 1$ et $u_1 = 2$ , puis par la relation $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$ .
Vérifie que ta conjecture donne bien la valeur de $u_6$ .
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9
On considère la suite définie pour $n \ge 0$ par $u_n = \frac{10}{n + 2}$ .
Donne le sens de variation de la suite.
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10
On définit la suite par $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 5$ .
Les termes semblent se stabiliser autour d'une valeur ℓ. Trouve ℓ en résolvant $ℓ = 0{,}8ℓ + 5$ .
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