Suites numériques

Un capital de 2000 € est placé sur un compte rapportant 3 % d'intérêts chaque année (intérêts composés). On note $u_{n}$ le capital au bout de n années, avec $u_{0}$ = 2000.
a) Exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
b) Précise la nature de la suite ($u_{n}$) et donne son terme général $u_{n}$.
c) Calcule le capital au bout de 5 ans, arrondi au centime.

Deux entreprises proposent un salaire mensuel à Karim. Offre A : 1500 € le premier mois (mois 0), puis + 50 € chaque mois. Offre B : 1400 € le premier mois, puis + 3 % chaque mois. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les salaires au mois n.
a) Donne l'expression de $a_{n}$ et de $b_{n}$.
b) Calcule le salaire de chaque offre au mois 12 (arrondi au centime).
c) Quelle offre est la plus avantageuse au mois 12 ?

Dans un théâtre, la première rangée (rangée 0) compte 18 sièges. Chaque rangée suivante compte 3 sièges de plus que la précédente. Le théâtre a 25 rangées.
a) On note $u_{n}$ le nombre de sièges de la rangée n. Donne l'expression de $u_{n}$.
b) Combien de sièges compte la dernière rangée ?
c) Combien de sièges compte le théâtre en tout ?

Un patient reçoit une dose de 200 mg d'un médicament. Chaque heure, l'organisme élimine 25 % de la quantité présente. On note $u_{n}$ la quantité (en mg) présente au bout de n heures, avec $u_{0}$ = 200.
a) Justifie que ($u_{n}$) est géométrique et donne son terme général.
b) Calcule la quantité présente au bout de 4 heures (arrondie au centième).
c) Au bout de combien d'heures entières la quantité passe-t-elle sous 50 mg ?

On définit la suite par $u_{0}$ = 5 et $u_{n+1}$ = $u_{n}$ + 2n + 1.
a) Calcule $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ et $u_{4}$.
b) Émets une conjecture pour l'expression de $u_{n}$ sous la forme d'un carré ajouté à un nombre.
c) Vérifie ta conjecture pour $u_{4}$.

On considère la suite arithmétique définie par $u_{n}$ = 7 − 4n.
a) Montre que la suite est arithmétique en calculant $u_{n+1}$ − $u_{n}$.
b) À partir de quel rang les termes deviennent-ils strictement négatifs ?
c) Calcule la somme S = $u_{0}$ + $u_{1}$ + … + $u_{10}$.

On lâche une balle d'une hauteur de 2 m. À chaque rebond, elle remonte à 0,8 fois la hauteur précédente. On note $h_{n}$ la hauteur atteinte après le n-ième rebond, et on pose $h_{0}$ = 2 (hauteur initiale).
a) Donne l'expression de $h_{n}$.
b) Calcule la hauteur atteinte après le 3ᵉ rebond (arrondie au millième).
c) À partir de quel rebond la hauteur devient-elle inférieure à 0,5 m ?

La suite ($u_{n}$) est arithmétique. On sait que $u_{4}$ = 14 et $u_{9}$ = 34.
a) Détermine la raison r et le premier terme $u_{0}$.
b) Donne l'expression de $u_{n}$.
c) Calcule la somme S = $u_{0}$ + $u_{1}$ + … + $u_{20}$.

La suite ($u_{n}$) est géométrique à termes positifs, avec $u_{1}$ = 6 et $u_{3}$ = 54.
a) Détermine la raison q.
b) Détermine $u_{0}$ et donne l'expression de $u_{n}$.
c) Détermine le plus petit rang n pour lequel $u_{n}$ > 1000.
d) Calcule la somme S = $u_{0}$ + $u_{1}$ + … + $u_{5}$.

On plante deux jeunes plants le jour 0, tous deux de 10 cm. Le plant A grandit de 4 cm chaque jour (croissance arithmétique). Le plant B grandit de 15 % chaque jour (croissance géométrique). On note $a_{n}$ et $b_{n}$ leurs hauteurs (en cm) au jour n.
a) Donne l'expression de $a_{n}$ et de $b_{n}$.
b) Compare les hauteurs au jour 5 et au jour 10 (arrondies au centième).
c) Montre que le plant B finit par dépasser le plant A, et détermine le premier jour où cela se produit.