Calcul littéral et identités remarquables

a) Le numérateur est une différence de carrés : $x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2} = (x - 2)(x + 2)$.
b) Le dénominateur est de la forme $a^{2} + 2ab + b^{2}$ : $x^{2} + 4x + 4 = x^{2} + 2\times x\times 2 + 2^{2} = (x + 2)^{2}$.
c) On remplace : $F = \frac{(x - 2)(x + 2) }{ (x + 2)^{2}}$.
On peut écrire $(x + 2)^{2} = (x + 2)(x + 2)$. Le facteur $(x + 2)$, non nul car $x \ne -2$, se simplifie une fois en haut et en bas :
$F = \frac{x - 2 }{ x + 2}$.
Résultat : $\frac{x - 2 }{ x + 2}$.

a) On développe $(5x + 2)^{2}$ avec $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$, $a = 5x$, $b = 2$ :
$(5x)^{2} + 2\times 5x\times 2 + 2^{2} = 25x^{2} + 20x + 4$. C'est bien H. Donc $H = (5x + 2)^{2}$.
b) $H - 16 = (5x + 2)^{2} - 16$. Or $16 = 4^{2}$, donc c'est une différence de carrés avec $a = (5x + 2)$ et $b = 4$ :
$H - 16 = (5x + 2)^{2} - 4^{2} = [(5x + 2) - 4][(5x + 2) + 4] = (5x - 2)(5x + 6)$.
c) Pour $x = 2$, avec la forme factorisée : $(5\times 2 - 2)(5\times 2 + 6) = (10 - 2)(10 + 6) = 8\times 16 = 128$.
Vérification directe : $H - 16 = (5\times 2 + 2)^{2} - 16 = 12^{2} - 16 = 144 - 16 = 128$. Correct.