Calcul littéral et identités remarquables
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On pose A = (2x + 5)² − (2x + 5)(x − 3).
a) Développe et réduis A.
b) Factorise A.
c) Calcule A pour x = 10.✅ Voir le corrigéoffert
a) On développe chaque partie.
(2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 (identité (a + b)² avec a = 2x, b = 5).
(2x + 5)(x − 3) = 2x² − 6x + 5x − 15 = 2x² − x − 15.
Alors A = 4x² + 20x + 25 − (2x² − x − 15) = 4x² + 20x + 25 − 2x² + x + 15.
On réduit : (4x² − 2x²) + (20x + x) + (25 + 15) = 2x² + 21x + 40.
b) Pour factoriser, on repart de l'expression de départ : le facteur commun est (2x + 5).
A = (2x + 5)[(2x + 5) − (x − 3)] = (2x + 5)(2x + 5 − x + 3) = (2x + 5)(x + 8).
Vérification en développant : (2x + 5)(x + 8) = 2x² + 16x + 5x + 40 = 2x² + 21x + 40. On retrouve le a). Correct.
c) La forme factorisée est la plus pratique pour calculer.
Pour x = 10 : A = (2×10 + 5)(10 + 8) = 25×18 = 450.
Vérification avec la forme développée : 2×100 + 21×10 + 40 = 200 + 210 + 40 = 450. Correct. - 2
On pose B = 9x² − 30x + 25.
a) Factorise B à l'aide d'une identité remarquable.
b) Calcule B pour x = 5.
c) Explique pourquoi B est toujours positif ou nul, quelle que soit la valeur de x.✅ Voir le corrigéoffert
a) On teste l'identité a² − 2ab + b² = (a − b)².
9x² = (3x)² donc a = 3x ; 25 = 5² donc b = 5.
On vérifie le double produit : 2ab = 2×3x×5 = 30x, qui apparaît bien avec un « − ».
Donc B = (3x − 5)².
b) On utilise la forme factorisée : pour x = 5, B = (3×5 − 5)² = (15 − 5)² = 10² = 100.
Vérification avec la forme développée : 9×25 − 30×5 + 25 = 225 − 150 + 25 = 100. Correct.
c) B = (3x − 5)² est un carré. Or le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
Donc B ≥ 0 pour toute valeur de x (et B = 0 seulement quand 3x − 5 = 0). - 3
On pose C = (x + 4)² − 9.
a) Développe et réduis C.
b) Factorise C (indice : reconnais une différence de deux carrés).
c) Utilise la forme factorisée pour calculer C lorsque x = 96.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
En utilisant les identités remarquables, calcule sans poser d'opération :
a) 102²
b) 999²
c) 53×47🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On pose D = (3x − 2)(x + 5) − (3x − 2)(2x − 1).
a) Factorise D.
b) Développe et réduis D.
c) Calcule D pour x = −2.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On pose F = , pour x ≠ −2.
a) Factorise le numérateur.
b) Factorise le dénominateur.
c) Simplifie F.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On pose G = (n + 1)² − (n − 1)².
a) Développe et réduis G.
b) G est-il toujours un multiple de 4 ? Justifie.
c) Applique ce résultat pour calculer 251² − 249².🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On pose H = 25x² + 20x + 4.
a) Vérifie que H = (5x + 2)².
b) Déduis-en une factorisation de H − 16.
c) Calcule H − 16 pour x = 2.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On donne P = x² − 6x + 9 et Q = x² − 9.
a) Factorise P puis Q.
b) Simplifie la fraction pour x ≠ 3 et x ≠ −3.
c) Calcule la fraction simplifiée pour x = 0, et vérifie sur la fraction de départ.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Un carré a pour côté (x + 3) cm (avec x un nombre positif). On fabrique un rectangle en augmentant un côté de 2 cm et en diminuant l'autre côté de 2 cm.
a) Exprime l'aire du carré, puis l'aire du rectangle, en fonction de x (développe et réduis).
b) Montre que l'aire du carré est toujours plus grande que celle du rectangle, et précise de combien.
c) Vérifie ce résultat pour x = 7.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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