Ensembles de nombres et intervalles

🟠 Difficile

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1
On donne $I = [-5 \,;\, 3]$ et $J = ]1 \,;\, 7]$ .
a) Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ .
b) Le nombre 1 appartient-il à $I \cap J$ ? Et à $I \cup J$ ?
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a) L'intersection réunit les nombres présents dans les deux intervalles.
Il faut $x \ge -5$ , $x \le 3$ , $x > 1$ et $x \le 7$ : au total $1 < x \le 3$ .
$I \cap J = ]1 \,;\, 3]$ .
Les deux intervalles se chevauchent, donc leur réunion est un seul intervalle : $I \cup J = [-5 \,;\, 7]$ .

b) 1 appartient à I (car $-5 \le 1 \le 3$ ) mais pas à J (crochet ouvert).
Il n'est donc pas dans l'intersection, mais il est bien dans la réunion.
2
Résous l'inéquation $|x - 5| \le 3$ .
a) Traduis-la en termes de distance, puis donne l'intervalle solution.
b) Écris la solution sous forme d'un encadrement.
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a) $|x - 5|$ est la distance entre $x$ et 5.
L'inéquation dit que cette distance est au plus 3.
Les nombres concernés sont donc ceux situés à 3 unités au plus de 5.
$S = [2 \,;\, 8]$ .

b) Cela s'écrit $2 \le x \le 8$ .
Contrôle avec $x = 8$ : $|8 - 5| = 3 \le 3$ ✓.
Contrôle avec $x = 9$ : $|9 - 5| = 4 > 3$ , donc 9 est bien exclu ✓.
3
Résous $|x + 4| < 6$ .
a) Réécris l'expression sous la forme $|x - a|$ et interprète.
b) Donne la solution sous forme d'intervalle.
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4
Traduis avec une valeur absolue : « la distance entre $x$ et 12 est inférieure ou égale à 5 ».
a) Écris l'inéquation.
b) Donne l'intervalle correspondant et son centre.
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5
Pour chaque nombre, précise s'il est décimal, rationnel non décimal, ou irrationnel.
a) $\sqrt{49}$ et $\sqrt{5}$ .
b) $\frac{9}{8}$ et $\frac{4}{7}$ .
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6
On donne $I = [-3 \,;\, 0[$ et $J = ]2 \,;\, 6]$ .
a) Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ .
b) Le nombre 1 appartient-il à $I \cup J$ ?
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7
On donne $A = ]-\infty \,;\, 4]$ et $B = [-1 \,;\, +\infty[$ .
a) Détermine $A \cap B$ et $A \cup B$ .
b) Traduis $A \cap B$ à l'aide d'une valeur absolue.
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8
Résous $|2x - 6| \le 8$ .
a) Factorise pour te ramener à une distance.
b) Donne l'intervalle solution.
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9
On considère l'ensemble des réels $x$ tels que $3 \le x < 9$ .
a) Écris-le sous forme d'intervalle et donne son centre.
b) Traduis cette condition avec une valeur absolue. L'écriture est-elle exacte ?
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10
On donne $I = [0 \,;\, 10]$ et $J = [4 \,;\, 15]$ .
a) Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ .
b) Traduis $I \cap J$ par une valeur absolue.
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