Ensembles de nombres et intervalles

🟠 Difficile

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1
On donne $A = ]-\infty \,;\, 4]$ et $B = [-1 \,;\, +\infty[$ .
a) Détermine $A \cap B$ et $A \cup B$ .
b) Traduis $A \cap B$ à l'aide d'une valeur absolue.
Voir le corrigéoffert
a) L'intersection impose $x \le 4$ et $x \ge -1$ : $A \cap B = [-1 \,;\, 4]$ .
La réunion couvre tous les réels : $A \cup B = \mathbb{R}$ .

b) L'intervalle $[-1 \,;\, 4]$ a pour centre $\frac{-1 + 4}{2} = 1{,}5$ .
Son rayon vaut $\frac{4 - (-1)}{2} = 2{,}5$ .
Il s'écrit donc $|x - 1{,}5| \le 2{,}5$ .
2
Traduis avec une valeur absolue : « la distance entre $x$ et 12 est inférieure ou égale à 5 ».
a) Écris l'inéquation.
b) Donne l'intervalle correspondant et son centre.
Voir le corrigéoffert
a) La distance entre $x$ et 12 s'écrit $|x - 12|$ .
L'inéquation est donc $|x - 12| \le 5$ .

b) $S = [7 \,;\, 17]$ .
Son centre est 12, et son rayon 5.
On retrouve directement les deux nombres de l'énoncé : c'est tout l'intérêt de cette écriture.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Résous $|x + 4| < 6$ .
a) Réécris l'expression sous la forme $|x - a|$ et interprète.
b) Donne la solution sous forme d'intervalle.
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4
On donne $I = [0 \,;\, 10]$ et $J = [4 \,;\, 15]$ .
a) Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ .
b) Traduis $I \cap J$ par une valeur absolue.
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5
On donne $I = [-3 \,;\, 0[$ et $J = ]2 \,;\, 6]$ .
a) Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ .
b) Le nombre 1 appartient-il à $I \cup J$ ?
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6
Résous $|2x - 6| \le 8$ .
a) Factorise pour te ramener à une distance.
b) Donne l'intervalle solution.
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7
On considère l'ensemble des réels $x$ tels que $3 \le x < 9$ .
a) Écris-le sous forme d'intervalle et donne son centre.
b) Traduis cette condition avec une valeur absolue. L'écriture est-elle exacte ?
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8
On donne $I = [-5 \,;\, 3]$ et $J = ]1 \,;\, 7]$ .
a) Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ .
b) Le nombre 1 appartient-il à $I \cap J$ ? Et à $I \cup J$ ?
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9
Résous l'inéquation $|x - 5| \le 3$ .
a) Traduis-la en termes de distance, puis donne l'intervalle solution.
b) Écris la solution sous forme d'un encadrement.
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10
Pour chaque nombre, précise s'il est décimal, rationnel non décimal, ou irrationnel.
a) $\sqrt{49}$ et $\sqrt{5}$ .
b) $\frac{9}{8}$ et $\frac{4}{7}$ .
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