Ensembles, intervalles et logique
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On donne I = [−4 ; 2] et J = ]0 ; 5]. Détermine I ∩ J et I ∪ J.
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I : −4 ≤ x ≤ 2. J : 0 < x ≤ 5.
I ∩ J (dans les deux) : il faut x > 0 (venant de J) et x ≤ 2 (venant de I), donc 0 < x ≤ 2.
La borne 0 est exclue (crochet ouvert de J), la borne 2 est incluse.
Donc I ∩ J = ]0 ; 2].
I ∪ J (dans au moins un) : les deux intervalles se chevauchent (entre 0 et 2), il n'y a pas de trou.
On prend de la plus petite borne (−4, incluse) à la plus grande (5, incluse).
Donc I ∪ J = [−4 ; 5]. - 2
Résous l'inéquation |x − 3| ≤ 4. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et sous forme d'inégalité.
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|x − 3| est la distance entre x et 3. On veut qu'elle soit ≤ 4 : x est à au plus 4 unités de 3.
On part du centre 3 et on s'écarte de 4 des deux côtés.
Borne gauche : 3 − 4 = −1. Borne droite : 3 + 4 = 7.
Sous forme d'inégalité : −1 ≤ x ≤ 7.
Sous forme d'intervalle : [−1 ; 7]. - 3
Résous |x + 2| ≤ 5. (Indication : x + 2 = x − (−2).)
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Traduis avec une valeur absolue la phrase : « la distance entre x et 8 est inférieure ou égale à 3 ». Puis donne l'intervalle correspondant.
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Pour chaque nombre, précise s'il est décimal, rationnel non décimal, ou irrationnel : a) √25 b) √3 c) d) .
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On considère l'implication : « Si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair. » a) Écris la réciproque. b) La réciproque est-elle vraie ? Justifie.
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Les intervalles [2 ; 7] et [7 ; 10] : détermine leur intersection et leur réunion.
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Dans ℝ, donne le complémentaire de l'intervalle [−1 ; 4].
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On donne E = {−3 ; 0 ; 1 ; √2 ; ; 5}. a) Quels éléments appartiennent à ℤ ? b) Quels éléments sont dans ℚ mais pas dans ℤ ? c) Quel élément est irrationnel ?
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Complète avec ⊂ ou ⊄ : a) ℤ … ℝ b) [0 ; 3] … [0 ; 5] c) [0 ; 5] … [0 ; 3] d) ℕ … ℤ.
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