Ensembles, intervalles et logique
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On considère les intervalles A = −2 ; 6]. a) Détermine A ∩ B. b) Détermine A ∪ B. c) Détermine le complémentaire de A dans ℝ. d) Le nombre −2 appartient-il à A ∩ B ? Justifie.
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A : −5 ≤ x < 3. B : −2 < x ≤ 6.
a) A ∩ B (dans les deux) : il faut x > −2 (de B) et x < 3 (de A), donc −2 < x < 3.
Les deux bornes sont exclues. Donc A ∩ B = ]−2 ; 3[.
b) A ∪ B (dans au moins un) : les intervalles se chevauchent entre −2 et 3, pas de trou.
On va de −5 (inclus, de A) à 6 (inclus, de B). Donc A ∪ B = [−5 ; 6].
c) Complémentaire de A = [−5 ; 3[ dans ℝ : les réels avec x < −5 OU x ≥ 3.
La borne −5 était incluse dans A, donc exclue du complémentaire. La borne 3 était exclue de A (crochet ouvert), donc incluse dans le complémentaire.
Donc le complémentaire est ]−∞ ; −5[ ∪ [3 ; +∞[.
d) On teste x = −2. Dans A ? −5 ≤ −2 < 3 : oui. Dans B ? il faudrait −2 < −2, ce qui est faux (borne exclue).
Donc −2 n'est pas dans B, donc −2 ∉ A ∩ B. - 2
On veut résoudre le système de conditions : |x − 1| ≤ 4 ET |x − 6| ≤ 3. a) Traduis chaque inéquation par un intervalle. b) Détermine l'ensemble des x qui vérifient les deux conditions à la fois. c) Le nombre 3 est-il solution ? Et le nombre 9 ?
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a) |x − 1| ≤ 4 : centre 1, rayon 4 → de 1 − 4 = −3 à 1 + 4 = 5, soit [−3 ; 5].
|x − 6| ≤ 3 : centre 6, rayon 3 → de 6 − 3 = 3 à 6 + 3 = 9, soit [3 ; 9].
b) « ET » signifie qu'on cherche l'intersection des deux intervalles.
[−3 ; 5] ∩ [3 ; 9] : il faut x ≥ 3 et x ≤ 5, donc [3 ; 5].
c) x = 3 : 3 est dans [3 ; 5], donc 3 est solution.
Vérification : |3 − 1| = 2 ≤ 4 ✓ et |3 − 6| = 3 ≤ 3 ✓.
x = 9 : 9 est dans [3 ; 9] mais pas dans [−3 ; 5], donc 9 n'est pas solution.
Vérification : |9 − 1| = 8, or 8 ≤ 4 est faux. La première condition échoue. - 3
On s'intéresse à l'inéquation |x − 2| ≥ 3. a) Interprète-la comme une condition de distance. b) Décris l'ensemble des solutions à l'aide de deux intervalles. c) Vérifie ta réponse en testant x = 2, x = 6 et x = −1.
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On considère la proposition (P) : « Si un entier n se termine par 0, alors n est divisible par 5. » a) Cette proposition est-elle vraie ? b) Écris sa réciproque et dis si elle est vraie (avec un contre-exemple si besoin). c) Écris sa contraposée.
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On pose A = ]−∞ ; 2], B = 0 ; +∞[. a) Détermine A ∩ B. b) Détermine B ∩ C. c) Détermine A ∩ C. d) Détermine A ∩ B ∩ C.
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Réponds par vrai ou faux en justifiant par une preuve ou un contre-exemple : a) « Tout nombre décimal est rationnel. » b) « Tout nombre rationnel est décimal. » c) « La somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle. » d) « Si x² est entier, alors x est entier. »
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Une pièce doit avoir une longueur x (en cm) telle que la distance entre x et la valeur cible 20 ne dépasse pas 0,5 cm (tolérance). a) Écris cette condition avec une valeur absolue. b) Donne l'intervalle des longueurs acceptables. c) Les longueurs 19,4 cm et 20,3 cm sont-elles acceptables ?
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On donne A = {x ∈ ℝ tel que −2 ≤ x ≤ 3} et B = {x ∈ ℝ tel que |x| ≤ 1}. a) Écris A et B sous forme d'intervalles. b) Détermine A ∩ B et A ∪ B. c) B est-il inclus dans A ? Justifie.
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Soit x un nombre réel. On considère P : « x² = 9 » et Q : « x = 3 ». a) L'implication Q ⟹ P est-elle vraie ? b) L'implication P ⟹ Q est-elle vraie ? c) A-t-on l'équivalence P ⟺ Q ? Sinon, propose une proposition Q' telle que P ⟺ Q' soit vraie.
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On considère trois intervalles I = [−6 ; −1], J = −1 ; 4]. a) Détermine I ∩ J. b) Détermine J ∩ K. c) Détermine I ∩ K. d) Déduis-en I ∩ J ∩ K et interprète le résultat.
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