Ensembles de nombres et intervalles

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1
Réponds par vrai ou faux en justifiant par une preuve ou un contre-exemple : a) « Tout nombre décimal est rationnel. » b) « Tout nombre rationnel est décimal. » c) « La somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle. » d) « Si $x^{2}$ est entier, alors x est entier. »
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a) Vrai. Un décimal s'écrit toujours sous forme de fraction d'entiers (par exemple $0{,}25 = \frac{25}{100}$ ). C'est donc un rationnel : on a 𝔻 $\subset \mathbb{Q}$ .
b) Faux. $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$ est un rationnel, mais son écriture décimale est illimitée : ce n'est pas un décimal. Contre-exemple.
c) Faux. $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont irrationnels, mais leur somme $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ est un entier, donc rationnel. Contre-exemple.
d) Faux. Prenons $x = \sqrt{2}$ : alors $x^{2} = 2$ est un entier, mais $x = \sqrt{2}$ n'est pas entier (il est même irrationnel). Contre-exemple.
2
On donne A = {x ∈ ℝ tel que $-2 \le x \le 3$ } et B = {x ∈ ℝ tel que $|x| \le 1$ }.
B est-il inclus dans A ? Justifie.
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a) $A = [-2 \,;\, 3]$ directement.
Pour B : $|x| \le 1$ signifie que la distance de x à 0 est $\le 1$ , soit $-1 \le x \le 1$ . Donc $B = [-1 \,;\, 1]$ .
b) $A \cap B$ : comme $[-1 \,;\, 1]$ est entièrement contenu dans $[-2 \,;\, 3]$ , l'intersection est $[-1 \,;\, 1]$ .
$A \cup B$ : la réunion est le plus grand des deux, soit $[-2 \,;\, 3]$ .
c) Tout x de B vérifie $-1 \le x \le 1$ ; alors $-2 \le x \le 3$ est aussi vrai. Chaque élément de B est dans A.
Donc $B \subset A$ .
3
On pose $A = ]-\infty \,;\, 2]$ , $B = [-3 \,;\, 5[$ et $C = ]0 \,;\, +\infty [$ .
Détermine $A \cap B \cap C$ .
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4
Une pièce doit avoir une longueur x (en cm) telle que la distance entre x et la valeur cible 20 ne dépasse pas 0,5 cm (tolérance).
Les longueurs 19,4 cm et 20,3 cm sont-elles acceptables ?
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5
On s'intéresse à l'inéquation |x − 2| ≥ 3.
Décris l'ensemble des solutions à l'aide de deux intervalles.
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6
On considère trois intervalles $I = [-6 \,;\, -1]$ , $J = [-3 \,;\, 2[$ , $K = ]-1 \,;\, 4]$ .
Détermine $I \cap J \cap K$ .
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7
On veut résoudre le système de conditions : |x − 1| ≤ 4 ET |x − 6| ≤ 3.
Le nombre 3 est-il solution ? Et le nombre 9 ?
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8
On considère les intervalles $A = [-5 \,;\, 3[$ et $B = ]-2 \,;\, 6]$ .
Le nombre $-2$ appartient-il à $A \cap B$ ? Justifie.
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9
a) Écris sous la forme $|x - a| \le r$ l'appartenance $x \in [-4 \,;\, 10]$ .
b) Écris sous la forme $|x - a| \ge r$ l'appartenance $x \in ]-\infty \,;\, 1] \cup [7 \,;\, +\infty [$ .
c) Vérifie ta réponse du a) avec $x = -4$ puis $x = 3$ .
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10
Soit m un nombre réel. On considère l'intervalle $I = [m \,;\, m + 3]$ .
Que se passerait-il si on remplaçait I par $[m \,;\, m + 12]$ ?
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