Fonctions : généralités

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1
Soit f(x) = x² − 1 et g(x) = 3.
La courbe de f est une parabole tournée vers le haut. Résous l'inéquation $f(x) \le g(x)$ .
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a) $f(x) = g(x)$ : $x^{2} - 1 = 3$ , soit $x^{2} = 4$ , donc $x = 2$ ou $x = -2$ .
b) Les courbes $C_f$ et $C_g$ se coupent aux points d'abscisses $-2$ et 2. Comme $g(x) = 3$ , l'ordonnée commune est 3 : ce sont les points $(-2 \,;\, 3)$ et $(2 \,;\, 3)$ .
c) $f(x) \le g(x)$ signifie que la parabole est en dessous (ou sur) la droite horizontale $y = 3$ . Cela se produit entre les deux points d'intersection.
Test en $x = 0$ : $f(0) = 0^{2} - 1 = -1$ et $g(0) = 3$ ; on a bien $-1 \le 3$ , donc $x = 0$ convient : c'est l'intervalle central qui est solution.
Conclusion : les solutions de $f(x) \le g(x)$ sont les x de l'intervalle $[-2 \,;\, 2]$ .
2
Soit $f(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{x - 3}$ .
Explique pourquoi f(3) et $f(-5)$ n'existent pas.
Voir le corrigéoffert
a) Deux contraintes : sous la racine, $x + 2 \ge 0$ , soit $x \ge -2$ ; le dénominateur $x - 3 \ne 0$ , soit $x \ne 3$ .
En combinant : $x \ge -2$ et $x \ne 3$ . Donc $D_f = [-2 \,;\, 3[ \cup ]3 \,;\, +\infty [$ .
b) $f(7) = \sqrt{7 + 2} + \frac{1}{7 - 3} = \sqrt{9} + \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ .
c) Pour $x = 3$ , le dénominateur $x - 3 = 0$ : division par 0 impossible, donc f(3) n'existe pas.
Pour $x = -5$ , on aurait $x + 2 = -3 < 0$ : la racine d'un nombre négatif n'existe pas, donc $f(-5)$ n'existe pas.
3
Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ .
Le point $A(0 \,;\, -\frac{1}{2})$ appartient-il à la courbe de f ?
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4
Le tableau ci-dessous donne des valeurs d'une fonction f définie sur $[-2 \,;\, 4]$ , dont la courbe descend puis remonte :
x : $-2$ ; $-1$ ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
f(x) : 6 ; 1 ; $-2$ ; $-3$ ; $-2$ ; 1 ; 6
Compare $f(-1)$ et f(3).
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5
Une fonction f est définie sur $[-3 \,;\, 3]$ par $f(x) = x^{2} - 4$ .
Combien de solutions l'équation $f(x) = -4$ admet-elle ?
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6
Un rectangle a un périmètre de 20 cm. On note x la longueur d'un côté (en cm) et A(x) son aire.
Vérifie que $x = 4$ et $x = 6$ donnent une aire de $24\,\text{cm}^{2}$ .
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7
Soit $f(x) = x^{2}$ , de courbe $C_f$ (une parabole passant par l'origine).
Selon la valeur de k, combien k a-t-il d'antécédents par f ? (on distinguera $k > 0$ , $k = 0$ et $k < 0$ )
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8
Soit $f(x) = \frac{x + 2}{x^{2} - x - 6}$ .
Calcule f(0) et f(5).
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9
La courbe $C_f$ représente la fonction f définie par $f(x) = x^{2} + m x - 4$ , où m est un nombre à déterminer.
On sait que le point $A(3 \,;\, 5)$ appartient à $C_f$ .
Détermine tous les antécédents de 5 par f.
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10
On cherche une fonction affine f définie par $f(x) = ax + b$ .
On sait que $f(2) = 7$ et $f(-1) = -2$ .
Calcule f(5), puis résous l'équation $f(x) = 0$ .
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