Les fonctions de référence

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1
On sait que 1 ≤ x ≤ 4. En utilisant le sens de variation de chaque fonction, donne un encadrement de : a) x² ; b) $\frac{1}{x}$ ; c) √x.
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Sur [1 ; 4], tous les nombres sont positifs.
a) La fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ : elle conserve l'ordre. De 1 ≤ x ≤ 4 on déduit 1² ≤ x² ≤ 4², soit 1 ≤ x² ≤ 16.
b) La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ : elle inverse l'ordre. De 1 ≤ x ≤ 4 on déduit $\frac{1}{4}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ $\frac{1}{1}$ , soit $\frac{1}{4}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ 1.
c) La fonction racine est croissante : de 1 ≤ x ≤ 4 on déduit √1 ≤ √x ≤ √4, soit 1 ≤ √x ≤ 2.
2
On sait que −5 ≤ x ≤ −2. Donne un encadrement de : a) x² ; b) $\frac{1}{x}$ ; c) |x|. Attention au sens de variation sur les nombres négatifs.
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Ici x est négatif.
a) Sur ]−∞ ; 0] la fonction carré est décroissante : elle inverse l'ordre. De −5 ≤ x ≤ −2 on déduit (−2)² ≤ x² ≤ (−5)², soit 4 ≤ x² ≤ 25.
b) Sur ]−∞ ; 0[ la fonction inverse est décroissante : elle inverse l'ordre. De −5 ≤ x ≤ −2 on déduit $\frac{1}{-2}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ $\frac{1}{-5}$ , soit − $\frac{1}{2}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ − $\frac{1}{5}$ .
c) |x| est la distance à 0 : pour x compris entre −5 et −2, |x| est compris entre 2 et 5, soit 2 ≤ |x| ≤ 5.
Vérification (b) : pour x = −5, $\frac{1}{-5}$ = −0,2 ; pour x = −2, $\frac{1}{-2}$ = −0,5 ; et bien −0,5 ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ −0,2.
3
On considère les quatre équations : x² = 49, √x = 49, |x| = 49 et $\frac{1}{x}$ = 49. a) Résous chacune. b) Donne le nombre de solutions de chaque équation. c) Laquelle (ou lesquelles) possède le plus de solutions ?
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4
a) Rappelle la comparaison de x et x² dans les quatre cas (x < 0 ; x = 0 ou x = 1 ; 0 < x < 1 ; x > 1). b) Un nombre strictement positif est tel que son carré est plus petit que lui-même. Que peut-on dire de ce nombre ? c) Donne un exemple numérique qui confirme ta réponse.
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5
Soit f la fonction carré, f(x) = x². Détermine les antécédents (s'ils existent) de : a) 16 ; b) 0 ; c) −4 ; d) 2.
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6
Soit f(x) = $\frac{1}{x}$ . a) Résous $\frac{1}{x}$ = −4. b) Explique, à l'aide des variations, comment on compare $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ lorsque 0 < a < b, puis lorsque a < b < 0. c) Range dans l'ordre croissant : $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{7}$ , $\frac{1}{-3}$ , $\frac{1}{-8}$ .
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7
a) Range dans l'ordre croissant √8, √50 et √32 (justifie par la croissance de la fonction racine). b) Entre quels deux entiers consécutifs se trouve √50 ? c) Résous l'équation √x = 9 et vérifie.
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8
On étudie la fonction cube f(x) = x³. a) Résous x³ = 64, x³ = −125 et x³ = 0. b) La fonction cube est-elle paire ou impaire ? Justifie avec (−x)³. c) La fonction cube est croissante sur ℝ. Compare (−4)³ et (−2)³ à l'aide de cette propriété, puis vérifie.
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9
a) Résous |x| = 6, |x| = 0 et |x| = −2. b) Résous |x| = |−7|. c) Calcule |−3| + |5| − |−2|, puis |−4| × |−2|.
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10
On considère les cinq fonctions de référence. a) Associe chaque courbe à sa fonction : la parabole, l'hyperbole et la courbe en V. b) Parmi les cinq fonctions, lesquelles sont paires ? impaires ? ni l'une ni l'autre ? c) Une fonction de référence passe par les points (−2 ; 4) et (3 ; 9). Laquelle est-ce ? Justifie.
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