Les fonctions de référence

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a) Rappelle la comparaison de x et $x^{2}$ dans les quatre cas (x < 0 ; x = 0 ou $x = 1$ ; $0 < x < 1$ ; $x > 1$ ).
b) Un nombre strictement positif est tel que son carré est plus petit que lui-même. Que peut-on dire de ce nombre ?
c) Donne un exemple numérique qui confirme ta réponse.
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a) Si $x < 0$ : $x^{2} > 0 > x$ , donc $x^{2} > x$ . Si $x = 0$ ou $x = 1$ : $x^{2} = x$ . Si $0 < x < 1$ : $x^{2} < x$ . Si $x > 1$ : $x^{2} > x$ .
b) On veut $x > 0$ et $x^{2} < x$ . D'après le rappel, $x^{2} < x$ se produit uniquement lorsque $0 < x < 1$ . Le nombre est donc compris strictement entre 0 et 1.
c) Par exemple $x = 0{,}5$ : $x^{2} = 0{,}25$ et $0{,}25 < 0{,}5$ . Le carré est bien plus petit que le nombre.
2
On sait que $1 \le x \le 4$ . En utilisant le sens de variation de chaque fonction, donne un encadrement de :
a) $x^{2}$ ;
b) $\frac{1}{x}$ ;
c) $\sqrt{x}$ .
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Sur $[1 \,;\, 4]$ , tous les nombres sont positifs.
a) La fonction carré est croissante sur $[0 \,;\, +\infty [$ : elle conserve l'ordre. De $1 \le x \le 4$ on déduit $1^{2} \le x^{2} \le 4^{2}$ , soit $1 \le x^{2} \le 16$ .
b) La fonction inverse est décroissante sur $]0 \,;\, +\infty [$ : elle inverse l'ordre. De $1 \le x \le 4$ on déduit $\frac{1}{4} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{1}$ , soit $\frac{1}{4} \le \frac{1}{x} \le 1$ .
c) La fonction racine est croissante : de $1 \le x \le 4$ on déduit $\sqrt{1} \le \sqrt{x} \le \sqrt{4}$ , soit $1 \le \sqrt{x} \le 2$ .
3
On considère les cinq fonctions de référence.
Une fonction de référence passe par les points $(-2 \,;\, 4)$ et $(3 \,;\, 9)$ . Laquelle est-ce ? Justifie.
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4
a) Range dans l'ordre croissant $\sqrt{8}$ , $\sqrt{50}$ et $\sqrt{32}$ (justifie par la croissance de la fonction racine).
b) Entre quels deux entiers consécutifs se trouve $\sqrt{50}$ ?
c) Résous l'équation $\sqrt{x} = 9$ et vérifie.
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5
a) Résous |x| = 6, |x| = 0 et |x| = −2.
b) Résous |x| = |−7|.
c) Calcule |−3| + |5| − |−2|, puis |−4| × |−2|.
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6
On sait que $-5 \le x \le -2$ . Donne un encadrement de :
a) $x^{2}$ ;
b) $\frac{1}{x}$ ;
c) |x|. Attention au sens de variation sur les nombres négatifs.
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7
On étudie la fonction cube $f(x) = x^{3}$ .
La fonction cube est croissante sur ℝ. Range $(-4)^{3}$ et $(-2)^{3}$ dans l'ordre croissant, puis contrôle par le calcul.
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8
Soit f la fonction carré, $f(x) = x^{2}$ . Détermine les antécédents (s'ils existent) de :
a) 16 ;
b) 0 ;
c) $-4$ ;
d) 2.
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9
Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ .
Range dans l'ordre croissant : $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{7}$ , $\frac{1}{-3}$ , $\frac{1}{-8}$ .
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10
On considère les quatre équations : $x^{2} = 49$ , $\sqrt{x} = 49$ , $|x| = 49$ et $\frac{1}{x} = 49$ .
Laquelle (ou lesquelles) possède le plus de solutions ?
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