Nombres réels, puissances et racines carrées

On pose A = $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$. a) Simplifie √12 et √27. b) Écris A sous la forme la plus simple. c) En déduire que A est un entier.

Soit B = (√5 − 2)(√5 + 2) et C = (√3 + 1)². a) Développe et calcule la valeur exacte de B. b) Développe et donne la valeur exacte de C. c) B est-il rationnel ? Et C ?

Un carré a une aire de 200 cm². a) Donne la valeur exacte de la longueur de son côté, sous la forme a√b simplifiée. b) Donne un encadrement de ce côté à 10⁻¹ près (on donne √2 ≈ 1,41421). c) Quel est le périmètre exact du carré ?

a) Écris N = $\frac{3^{4} \times 3^{-6}}{3^{-3}}$ sous la forme d'une seule puissance de 3, puis donne sa valeur. b) Écris P = $\frac{2^{-3} \times 5^{2}}{2^{2} \times 5^{-1}}$ sous la forme 2ᵃ × 5ᵇ, puis donne sa valeur exacte.

On veut comparer x = √2 + √3 et y = √10 sans calculatrice. On rappelle √6 ≈ 2,449. a) Calcule x² (on laissera √6 dans le résultat). b) Calcule y². c) En comparant x² et y², dire lequel de x ou y est le plus grand.

a) Montre que (2√3 + √5)² = 17 + 4√15. b) Sachant que √15 ≈ 3,873, donne un arrondi à 10⁻² près de (2√3 + √5)². c) Combien de chiffres significatifs a cet arrondi ?

Une longueur vaut L = (3 × 10⁻⁴) × (5 × 10⁷) mètres et une durée T = $\frac{6 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{3}}$ secondes. a) Écris L en écriture scientifique. b) Écris T en écriture scientifique. c) Calcule la vitesse v = $\frac{L}{T}$ en écriture scientifique.

Soit S = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{8}}$ + $\frac{1}{\sqrt{18}}$. a) Simplifie √8 et √18. b) Écris chaque terme sans racine au dénominateur. c) Montre que S s'écrit sous la forme k√2 et donne k.

On considère u = 2⁵⁰ et v = 3³⁰. a) Écris u et v comme des puissances ayant le même exposant 10. b) En déduire lequel est le plus grand. c) Écris le quotient $\frac{u}{v}$ sous la forme d'une puissance de $\frac{32}{27}$.

Le nombre d'or vérifie φ = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. a) Donne un encadrement de φ à 10⁻² près (on donne √5 ≈ 2,2360). b) Montre que φ² = φ + 1. c) En déduire la valeur exacte de φ².