Nombres réels, puissances et racines carrées

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1
Soit $B = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$ et $C = (\sqrt{3} + 1)^{2}$ .
B est-il rationnel ? Et C ?
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a) $B = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$ . On développe : $\sqrt{5} \times \sqrt{5} + \sqrt{5} \times 2 - 2 \times \sqrt{5} - 2 \times 2 = 5 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 4 = 5 - 4 = 1$ .
(On reconnaît $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = \sqrt{5}$ et $b = 2$ : $(\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$ .)
b) $C = (\sqrt{3} + 1)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^{2} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$ .
c) $B = 1$ est un entier, donc rationnel. $C = 4 + 2\sqrt{3}$ : comme $\sqrt{3}$ est irrationnel, $2\sqrt{3}$ l'est aussi, et $4 + 2\sqrt{3}$ est irrationnel (donc non rationnel).
2
On pose $A = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ .
Montre que A est un entier.
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a) $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ et $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ .
b) Le numérateur vaut $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
Donc $A = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \times 1 = 5$ .
c) $A = 5$ est un entier naturel.
Un dernier contrôle : $\sqrt{12} \approx 3{,}464$ et $\sqrt{27} \approx 5{,}196$ , leur $\text{somme} \approx 8{,}660$ ; en divisant par $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ on obtient bien $\approx 5$ .
3
Une longueur vaut $L = (3 \times 10^{-4}) \times (5 \times 10^{7})$ mètres et une durée $T = \frac{6 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{3}}$ secondes.
Calcule la vitesse $v = \frac{L}{T}$ en écriture scientifique.
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4
On veut comparer $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ et $y = \sqrt{10}$ sans calculatrice. On rappelle $\sqrt{6} \approx 2{,}449$ .
En comparant $x^{2}$ et $y^{2}$ , dire lequel de x ou y est le plus grand.
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5
Un carré a une aire de $200\,\text{cm}^{2}$ .
Quel est le périmètre exact du carré ?
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6
a) Écris $N = \frac{3^{4} \times 3^{-6}}{3^{-3}}$ sous la forme d'une seule puissance de 3, puis donne sa valeur.
b) Écris $P = \frac{2^{-3} \times 5^{2}}{2^{2} \times 5^{-1}}$ sous la forme $2^{a} \times 5^{b}$ , puis donne sa valeur exacte.
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7
On considère $u = 2^{50}$ et $v = 3^{30}$ .
Écris le quotient $\frac{u}{v}$ sous la forme d'une puissance de $\frac{32}{27}$ .
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8
a) Montre que $(2\sqrt{3} + \sqrt{5})^{2} = 17 + 4\sqrt{15}$ .
b) Sachant que $\sqrt{15} \approx 3{,}873$ , donne un arrondi à $10^{-2}$ près de $(2\sqrt{3} + \sqrt{5})^{2}$ .
c) Combien de chiffres significatifs a cet arrondi ?
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9
Soit $S = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{18}}$ .
Montre que S s'écrit sous la forme $k\sqrt{2}$ et donne k.
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10
Le nombre d'or vérifie $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .
Donne la valeur exacte de $\varphi^{2}$ .
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