Probabilités : vocabulaire et calculs

🟠 Difficile

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1
On lance trois pièces équilibrées.
a) Combien y a-t-il d'issues ? Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois Pile ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un Pile ?
Voir le corrigéoffert
a) Chaque pièce donne 2 résultats, et il y a 3 pièces : $2^{3} = 8$ issues.
Une seule correspond à PPP, donc $P = \frac{1}{8} = 0{,}125$ .

b) L'événement contraire de « au moins un Pile » est « aucun Pile », c'est-à-dire FFF.
$P(\text{FFF}) = \frac{1}{8}$ .
Donc $P(\text{au moins un Pile}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875$ .
Passer par le contraire évite d'énumérer les sept issues favorables.
Ces sept issues sont d'ailleurs PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF et FFP.
On peut aussi compter par nombre de Piles : 1 issue à 0 Pile, 3 à un Pile, 3 à deux, 1 à trois.
Contrôle : $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ .
2
Une expérience a pour issues A, B et C, deux à deux incompatibles, avec $P(A) = 0{,}25$ et $P(B) = 0{,}45$ .
a) Calcule $P(C)$ .
b) Calcule $P(A \cup C)$ et la probabilité de l'événement contraire de B.
Voir le corrigéoffert
a) Les trois issues couvrent toutes les possibilités : leurs probabilités ont pour somme 1.
$P(C) = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3$ .

b) A et C étant incompatibles : $P(A \cup C) = 0{,}25 + 0{,}3 = 0{,}55$ .
L'événement contraire de B est exactement $A \cup C$ , puisque les trois issues couvrent tout.
Sa probabilité vaut donc $1 - 0{,}45 = 0{,}55$ .
Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui confirme les calculs.
Remarque : $A \cup B \cup C$ a pour probabilité 1, c'est l'événement certain.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On note A « la carte est un pique » et B « la carte est une figure » (valet, dame, roi).
a) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
b) Calcule la probabilité de tirer un pique ou une figure.
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4
Dans une urne, on tire un jeton parmi 20, numérotés de 1 à 20. On note A l'événement « le numéro est pair » et B « le numéro est multiple de 5 ».
a) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
b) Calcule $P(A \cup B)$ .
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5
Deux événements A et B sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}42$ et $P(B) = 0{,}31$ .
a) Que vaut $P(A \cap B)$ ? En déduire $P(A \cup B)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucun des deux ne se produise.
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6
Un sac contient 12 boules : 5 rouges, 4 vertes et 3 bleues. On en tire une au hasard.
a) Calcule la probabilité de tirer une rouge ou une verte.
b) Calcule la probabilité de ne pas tirer de bleue, de deux façons.
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7
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on s'intéresse à la somme.
a) Quelle est la probabilité que la somme soit égale à 8 ?
b) Quelle est la probabilité qu'elle soit supérieure ou égale à 10 ?
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8
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}35$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$ .
a) Calcule $P(A \cup B)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucun des deux ne se produise.
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9
Une roue comporte 25 secteurs identiques numérotés de 1 à 25.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ou un multiple de 4 ?
b) Quelle est la probabilité de n'obtenir ni l'un ni l'autre ?
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10
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}55$ et $P(A \cup B) = 0{,}85$ .
a) Calcule $P(A \cap B)$ .
b) Ces deux événements sont-ils incompatibles ? Justifie.
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