Probabilités : vocabulaire et calculs

🟠 Difficile

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1
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}35$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$ .
a) Calcule $P(A \cup B)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucun des deux ne se produise.
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a) La formule d'addition donne $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
$P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}35 - 0{,}2 = 0{,}75$ .
On retire l'intersection, sinon elle serait comptée deux fois.

b) « Aucun des deux » est l'événement contraire de « au moins un », c'est-à-dire de $A \cup B$ .
$P = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .
Un quart des issues ne réalisent donc ni A ni B.
On peut aussi le voir comme $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ : ni A, ni B.
Contrôle par décomposition : A seul vaut $0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4$ , B seul vaut $0{,}35 - 0{,}2 = 0{,}15$ .
Et $0{,}4 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}25 = 1$ ✓.
2
Deux événements A et B sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}42$ et $P(B) = 0{,}31$ .
a) Que vaut $P(A \cap B)$ ? En déduire $P(A \cup B)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucun des deux ne se produise.
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a) Incompatibles signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
Donc $A \cap B = \varnothing$ et $P(A \cap B) = 0$ .
La formule d'addition se simplifie : $P(A \cup B) = 0{,}42 + 0{,}31 = 0{,}73$ .

b) $P = 1 - 0{,}73 = 0{,}27$ .
On remarque que $0{,}42 + 0{,}31 + 0{,}27 = 1$ ✓ : les trois cas couvrent toutes les issues.
Ces trois cas sont bien exclusifs : A seul, B seul, ou ni l'un ni l'autre.
Le cas « A et B » est impossible ici, puisque les événements sont incompatibles.
Attention : incompatible ne signifie pas contraire — ici $P(A) + P(B) \neq 1$ .
3
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}55$ et $P(A \cup B) = 0{,}85$ .
a) Calcule $P(A \cap B)$ .
b) Ces deux événements sont-ils incompatibles ? Justifie.
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4
On lance trois pièces équilibrées.
a) Combien y a-t-il d'issues ? Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois Pile ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un Pile ?
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5
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on s'intéresse à la somme.
a) Quelle est la probabilité que la somme soit égale à 8 ?
b) Quelle est la probabilité qu'elle soit supérieure ou égale à 10 ?
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6
Dans une urne, on tire un jeton parmi 20, numérotés de 1 à 20. On note A l'événement « le numéro est pair » et B « le numéro est multiple de 5 ».
a) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
b) Calcule $P(A \cup B)$ .
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7
Un sac contient 12 boules : 5 rouges, 4 vertes et 3 bleues. On en tire une au hasard.
a) Calcule la probabilité de tirer une rouge ou une verte.
b) Calcule la probabilité de ne pas tirer de bleue, de deux façons.
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8
Une expérience a pour issues A, B et C, deux à deux incompatibles, avec $P(A) = 0{,}25$ et $P(B) = 0{,}45$ .
a) Calcule $P(C)$ .
b) Calcule $P(A \cup C)$ et la probabilité de l'événement contraire de B.
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9
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On note A « la carte est un pique » et B « la carte est une figure » (valet, dame, roi).
a) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
b) Calcule la probabilité de tirer un pique ou une figure.
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10
Une roue comporte 25 secteurs identiques numérotés de 1 à 25.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ou un multiple de 4 ?
b) Quelle est la probabilité de n'obtenir ni l'un ni l'autre ?
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