Probabilités : vocabulaire et calculs

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1
On lance deux pièces équilibrées en même temps. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un Pile ?
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On liste l'univers. En notant (résultat de la 1ʳᵉ ; résultat de la 2ᵉ), on a Ω $= \{(P \,;\, P) \,;\, (P \,;\, F) \,;\, (F \,;\, P) \,;\, (F \,;\, F)\}$ , soit 4 issues équiprobables.
Le contraire de « au moins un Pile » est « aucun Pile », c'est-à-dire $(F \,;\, F)$ , une seule issue.
$P(\text{aucun Pile}) = \frac{1}{4}$ .
Donc $P(au \text{moins un Pile}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75$ .
Vérification directe : les issues avec au moins un Pile sont $(P \,;\, P)$ , $(P \,;\, F)$ , $(F \,;\, P)$ , soit 3 issues sur 4 : $\frac{3}{4}$ . Les deux méthodes concordent.
2
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on s'intéresse à la somme des deux résultats. Quelle est la probabilité que cette somme soit égale à 7 ?
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Chaque dé donne 6 résultats ; en tenant compte de l'ordre, l'univers compte $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables.
On cherche les couples (dé 1 ; dé 2) dont la somme fait 7 : $(1 \,;\, 6)$ , $(2 \,;\, 5)$ , $(3 \,;\, 4)$ , $(4 \,;\, 3)$ , $(5 \,;\, 2)$ , $(6 \,;\, 1)$ . Cela fait 6 couples favorables.
$P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36}$ .
On simplifie en divisant par 6 : $P(\text{somme} = 7) = \frac{1}{6}$ .
Remarque : 7 est la somme la plus probable avec deux dés, ce qui est cohérent.
3
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (les figures sont Valet, Dame, Roi). Quelle est la probabilité de tirer une figure OU un cœur ?
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4
A et B sont deux événements d'une même expérience. On sait que $P(A) = 0{,}5$ ; $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}15$ . Calcule $P(A \cup B)$ .
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5
Un dé est truqué : la face 6 a deux fois plus de chances de sortir que chacune des autres faces, qui sont elles-mêmes équiprobables entre elles.
a) Détermine la loi de probabilité de ce dé.
b) Calcule la probabilité d'obtenir un nombre pair.
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6
Deux événements A et B sont incompatibles. On donne $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}25$ .
a) Calcule $P(A \cup B)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucun des deux événements ne se produise.
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7
Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l'anglais (événement A), 12 étudient l'espagnol (événement E), et 5 étudient les deux langues. On interroge un élève au hasard.
a) Calcule P(A), P(E) et $P(A \cap E)$ .
b) Calcule la probabilité qu'il étudie au moins une de ces deux langues.
c) Combien d'élèves n'étudient ni l'anglais ni l'espagnol ?
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8
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}45$ ; $P(B) = 0{,}6$ et $P(A \cup B) = 0{,}8$ .
a) Calcule $P(A \cap B)$ .
b) Ces deux événements sont-ils incompatibles ?
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9
Dans un collège de 200 élèves, on étudie deux caractères : être demi-pensionnaire (événement D) et pratiquer un sport en club (événement S). On sait que 120 élèves sont demi-pensionnaires, 90 pratiquent un sport, et 60 élèves sont à la fois demi-pensionnaires et sportifs. On choisit un élève au hasard.
a) Calcule P(D) et P(S).
b) Calcule $P(D \cap S)$ .
c) Calcule $P(D \cup S)$ et interprète le résultat.
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10
Un sac contient 20 jetons numérotés de 1 à 20. On tire un jeton au hasard. On note A = « le numéro est un multiple de 3 » et B = « le numéro est un multiple de 4 ».
a) Calcule P(A) et P(B).
b) Calcule $P(A \cap B)$ .
c) Calcule $P(A \cup B)$ .
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