Probabilités : vocabulaire et calculs

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1
On lance deux dés équilibrés à 6 faces (un rouge, un bleu).
Quelle est la probabilité que les deux dés affichent le même numéro ?
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L'univers compte $6 \times 6 = 36$ couples (rouge ; bleu) équiprobables.
a) Sommes égales à 8 : $(2 \,;\, 6)$ , $(3 \,;\, 5)$ , $(4 \,;\, 4)$ , $(5 \,;\, 3)$ , $(6 \,;\, 2)$ , soit 5 couples.
$P(\text{somme} = 8) = \frac{5}{36}$ .
b) On passe par le contraire : le produit est impair uniquement si les deux dés sont impairs. Chaque dé a 3 valeurs impaires (1;3;5), soit $3 \times 3 = 9$ couples.
$P(\text{produit impair}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ .
Donc $P(\text{produit pair}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
c) Mêmes numéros : $(1 \,;\, 1)$ , $(2 \,;\, 2)$ , $(3 \,;\, 3)$ , $(4 \,;\, 4)$ , $(5 \,;\, 5)$ , $(6 \,;\, 6)$ , soit 6 couples.
$P(\text{même numéro}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .
Vérification (b) : sur 36 couples, seuls les 9 « impair-impair » donnent un produit impair, les 27 autres un produit pair, et $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ . Cohérent.
2
Une usine a produit 1000 pièces avec deux machines. La machine A a produit 600 pièces, dont 18 défectueuses ; la machine B a produit 400 pièces, dont 20 défectueuses. On prélève une pièce au hasard parmi les 1000 et on note A = « pièce produite par la machine A » et D = « pièce défectueuse ».
Quelle machine a la plus grande proportion de pièces défectueuses ?
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On choisit parmi 1000 pièces équiprobables. Nombre total de pièces défectueuses : $18 + 20 = 38$ .
a) $P(A) = \frac{600}{1000} = \frac{3}{5} = 0{,}6$ ; $P(D) = \frac{38}{1000} = 0{,}038$ .
b) « $A \cap D$ » = produite par A ET défectueuse, soit 18 pièces : $P(A \cap D) = \frac{18}{1000} = 0{,}018$ .
c) Formule de la réunion : $P(A \cup D) = P(A) + P(D) - P(A \cap D) = 0{,}6 + 0{,}038 - 0{,}018 = 0{,}62$ .
d) On compare les proportions de défectueuses machine par machine. Sur la machine A : $\frac{18}{600} = 0{,}03$ , soit 3 %. Sur la machine B : $\frac{20}{400} = 0{,}05$ , soit 5 %. La machine B a donc la plus grande proportion de pièces défectueuses (5 % contre 3 %).
3
Un dé à 6 faces est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir la face k soit proportionnelle à k (donc $P(k) = k \times c$ pour une constante c).
Calcule la probabilité d'obtenir un nombre pair OU au moins 5.
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4
On lance un dé équilibré à 6 faces trois fois de suite.
Calcule la probabilité que les trois résultats soient tous différents.
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5
On fait tourner deux roues équilibrées : la roue A porte les numéros 1, 2, 3 ; la roue B porte les numéros 1, 2, 3, 4. On note le couple (numéro de A ; numéro de B).
Calcule la probabilité que le numéro de A soit strictement supérieur au numéro de B.
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6
Une urne contient 3 boules rouges numérotées R1, R2, R3 et 2 boules vertes numérotées V1, V2, toutes identiques au toucher. On tire SIMULTANÉMENT deux boules.
Calcule la probabilité de tirer au moins une boule verte.
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7
Une expérience aléatoire a quatre issues a, b, c et d. On sait que la probabilité de b est le double de celle de a, que la probabilité de c dépasse celle de a de 0,1, et que $P(d) = 0{,}3$ .
Calcule la probabilité de l'événement contraire de d.
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8
Un jeu se déroule ainsi : on lance deux dés équilibrés à 6 faces et on gagne si la somme obtenue est un multiple de 4 OU si les deux dés affichent le même numéro.
Calcule la probabilité de gagner à ce jeu.
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9
Dans un groupe de 120 personnes, 70 parlent anglais, 45 parlent espagnol et 30 parlent ces deux langues. On choisit une personne au hasard.
Calcule la probabilité qu'elle ne parle aucune de ces deux langues.
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10
On choisit au hasard un code à deux chiffres, de 00 à 99 (tous les codes ont la même probabilité).
Quelle est la probabilité qu'au moins un des deux chiffres soit un 7 ?
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