Probabilités : tableaux croisés et arbres

🟠 Difficile

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1
Une urne contient 4 boules rouges et 6 noires. On tire successivement deux boules SANS remise.
a) Construis l'arbre et calcule la probabilité d'obtenir deux rouges.
b) Calcule la probabilité d'obtenir exactement une rouge.
Voir le corrigéoffert
a) Premier tirage : $P(\text{rouge}) = \frac{4}{10} = 0{,}4$ .
Second tirage sachant que la première était rouge : il reste 9 boules dont 3 rouges, soit $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .
On multiplie le long du chemin : $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ .

b) Deux chemins conviennent : rouge puis noire, ou noire puis rouge.
Rouge puis noire : $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$ .
Noire puis rouge : $\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$ .
Total : $\frac{48}{90} = \frac{8}{15}$ .
Les deux chemins ont la même probabilité, mais restent deux issues distinctes.
2
Dans une ville, 40 % des habitants sont abonnés à un journal. Parmi les abonnés, 25 % le lisent en ligne ; parmi les non-abonnés, 10 % lisent la presse en ligne.
a) Calcule la probabilité qu'un habitant soit abonné et lise en ligne.
b) Calcule la probabilité qu'un habitant lise la presse en ligne.
Voir le corrigéoffert
a) On suit la branche « abonné » puis « en ligne ».
$0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}10$ , soit 10 % des habitants.

b) Second chemin : non-abonné puis en ligne.
$0{,}60 \times 0{,}10 = 0{,}06$ , soit 6 %.
Les deux chemins sont incompatibles : on additionne.
$P(\text{en ligne}) = 0{,}10 + 0{,}06 = 0{,}16$ , soit 16 % des habitants.
Sur 50 000 habitants, cela ferait 8 000 lecteurs en ligne.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une usine possède deux machines : A produit 60 % des pièces, B le reste. 3 % des pièces de A sont défectueuses, contre 5 % pour B.
a) Construis l'arbre et calcule la probabilité qu'une pièce vienne de A et soit défectueuse.
b) Calcule la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
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4
Dans une entreprise de 250 salariés, 150 sont des hommes. 100 salariés travaillent à temps partiel, dont 70 femmes.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule la probabilité qu'un salarié pris au hasard soit une femme à temps plein.
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5
On lance un dé truqué 2 000 fois et on observe la face 6 exactement 460 fois.
a) Propose une estimation de la probabilité d'obtenir un 6 avec ce dé.
b) Sur 7 500 lancers de ce même dé, à combien de « 6 » peut-on s'attendre ?
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6
Un club de 200 membres propose la natation et le tennis. 130 membres font de la natation, 90 du tennis, et 40 font les deux.
a) Complète le tableau croisé et vérifie le total.
b) Calcule la probabilité qu'un membre ne pratique aucune de ces deux activités.
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7
Un lycée compte 300 élèves. 180 sont demi-pensionnaires (dont 100 filles) et 120 sont externes (dont 70 filles). On choisit un élève au hasard.
a) Complète le tableau croisé et donne le nombre total de filles.
b) Calcule la probabilité que ce soit une fille, puis celle que ce soit un garçon externe.
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8
Dans un lycée de 800 élèves, 480 sont des filles. 240 élèves étudient l'allemand, dont 150 filles.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit un garçon étudiant l'allemand.
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9
Un questionnaire est proposé à 600 personnes. 350 répondent « oui », dont 210 femmes. On sait qu'il y a 320 femmes au total.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule la probabilité qu'une personne prise au hasard soit un homme ayant répondu « non ».
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10
Un sondage porte sur 500 personnes. 300 possèdent une voiture, dont 180 habitent en ville. Au total, 260 personnes habitent en ville.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule la probabilité qu'une personne choisie au hasard habite en ville ET ne possède pas de voiture.
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