Probabilités : tableaux croisés et arbres

🔴 Expert

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

1
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes, on la remet dans le jeu que l'on rebat, puis on tire une seconde carte (tirage AVEC remise).
Calcule la probabilité de tirer au moins un roi.
Je suis les branches !
Voir le corrigéoffert
Comme on remet la carte et qu'on rebat le jeu, les deux tirages sont INDÉPENDANTS et se font toujours parmi les 52 cartes : sur l'arbre, les branches du deuxième niveau portent les mêmes probabilités que celles du premier.
a) À chaque tirage, $P(\text{roi}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . On multiplie le long du chemin : $P(\text{2 rois}) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169}$ .
b) À chaque tirage, P(cœur) $= \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ . Donc P(2 cœurs) $= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ .
c) On passe par le contraire « aucun roi » : à chaque tirage, $P(\text{pas de roi}) = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$ . Donc $P(\text{aucun roi aux deux tirages}) = \frac{12}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{144}{169}$ .
Donc $P(\text{au moins un roi}) = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$ .
Je vérifie : $\frac{25}{169} \approx 0{,}148$ , une valeur raisonnable entre 0 et 1.
2
Lors d'une compétition, 4 % des sportifs sont dopés. Le contrôle antidopage utilisé détecte 95 % des sportifs dopés, mais déclare aussi positifs 2 % des sportifs non dopés. Un sportif est contrôlé positif. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement dopé ?
Voir le corrigéoffert
On raisonne sur 10 000 sportifs pour travailler avec des entiers.
Dopés : 4 % de $10\,000 = 0{,}04 \times 10\,000 = 400$ . Non dopés : $10\,000 - 400 = 9600$ .
Chemin « dopé puis positif » : 95 % des 400 dopés, soit $0{,}95 \times 400 = 380$ vrais positifs.
Chemin « non dopé puis positif » : 2 % des 9600 non dopés, soit $0{,}02 \times 9600 = 192$ faux positifs.
Total des contrôles positifs : $380 + 192 = 572$ .
On cherche $P_{\text{positif}}(\text{dopé})$ : on se place parmi les 572 sportifs positifs, dont 380 sont réellement dopés.
$P_{\text{positif}}(\text{dopé}) = \frac{380}{572}$ .
On simplifie en divisant par 4 : $\frac{95}{143} \approx 0{,}664$ .
Donc un sportif contrôlé positif n'a qu'environ 66 % de chances d'être réellement dopé : plus d'un contrôle positif sur trois est une erreur.
Interprétation : ici encore, la proportion de dopés est faible (4 %), donc les 2 % d'erreurs commises sur le très grand groupe des non-dopés produisent beaucoup de faux positifs. C'est précisément pour cette raison qu'un contrôle positif est systématiquement confirmé par un second test.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
S'abonner
Le pack de révision, gratuit
L'essentiel des dix premiers chapitres du programme, en PDF : ce qu'il faut retenir et les questions qui vérifient que c'est acquis. Puis 5 e-mails sur 14 jours, et c'est tout.
Ton adresse e-mail
La classe
J'accepte de recevoir le pack de révision et quelques conseils de méthode par e-mail. Je peux me désinscrire en un clic, et mon adresse ne sera jamais transmise à personne. Politique de confidentialité.
3
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement 3 boules SANS remise.
Calcule la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules bleues, identiques au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la REMET dans le sac, puis on tire une seconde boule (tirage AVEC remise).
Calcule la probabilité de tirer au moins une rouge.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
5
Un joueur tire d'abord une carte dans un jeu de 32 cartes.
• S'il obtient un cœur, il lance ensuite un dé équilibré et il gagne s'il fait 5 ou 6.
• Sinon, il lance une pièce équilibrée et il gagne s'il obtient Pile.
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
6
On interroge 400 personnes sur un projet. Parmi les 200 hommes, 120 sont pour ; parmi les 200 femmes, 150 sont pour. On choisit une personne au hasard et on note F = « être une femme » et A = « être pour le projet ».
Compare la proportion de personnes « pour » chez les femmes et chez les hommes.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
7
Dans une usine, on suppose que la proportion de pièces défectueuses est $p = 0{,}04$ (soit 4 %). On prélève au hasard un échantillon de $n = 200$ pièces.
Un contrôle sur 200 pièces en révèle 16 défectueuses. L'hypothèse de 4 % de pièces défectueuses tient-elle ? Justifie.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
8
Une usine se fournit chez deux fabricants : A livre 60 % des composants et B en livre 40 %. On sait que 3 % des composants de A sont défectueux, contre 8 % de ceux de B.
Un composant défectueux est trouvé dans un lot. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fabricant B ?
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
9
Un institut interroge 800 personnes au sujet d'un vaccin contre la grippe. 480 personnes ont été vaccinées ; parmi elles, 24 ont eu la grippe. Au total, 104 personnes ont eu la grippe.
a) Complète le tableau croisé des effectifs.
b) Calcule la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait eu la grippe.
c) Calcule la probabilité d'avoir eu la grippe sachant qu'on est vacciné, puis sachant qu'on ne l'est pas.
d) Le vaccin paraît-il efficace ? Justifie par les probabilités calculées.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
10
Une maladie touche 1 personne sur 1000 dans la population. Un test de dépistage est annoncé « fiable à 99 % » : il est positif chez 99 % des personnes malades, et négatif chez 99 % des personnes saines. On teste une personne prise au hasard dans la population et son test est POSITIF.
a) Sur 100 000 personnes, combien y a-t-il de malades et de personnes saines ?
b) Combien de tests positifs obtient-on en tout ?
c) Quelle est la probabilité que la personne testée positive soit réellement malade ?
d) Le chiffre obtenu est-il surprenant ? Explique pourquoi un test annoncé « fiable à 99 % » peut se tromper si souvent.
Chaque chemin compte !
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

Et maintenant ?

Examen du chapitreTeste-toi, noté /20

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Chapitre suivant : ÉchantillonnageOn continue le programme

Le pack de révision, gratuit

L'essentiel des dix premiers chapitres du programme, en PDF : ce qu'il faut retenir et les questions qui vérifient que c'est acquis. Puis 5 e-mails sur 14 jours, et c'est tout.

Partager avec ma classe

Les énoncés de cette page sont gratuits et s'ouvrent sans compte : l'adresse peut être donnée telle quelle, au tableau ou dans l'espace numérique de travail.

← Changer de niveau