Probabilités : tableaux croisés et arbres
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Une maladie touche 1 personne sur 1000 dans la population. Un test de dépistage est annoncé « fiable à 99 % » : il est positif chez 99 % des personnes malades, et négatif chez 99 % des personnes saines. On teste une personne prise au hasard dans la population et son test est POSITIF.
a) Sur 100 000 personnes, combien y a-t-il de malades et de personnes saines ?
b) Combien de tests positifs obtient-on en tout ?
c) Quelle est la probabilité que la personne testée positive soit réellement malade ?
d) Ce résultat te surprend-il ? Explique.
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On raisonne sur une population fictive de 100 000 personnes, ce qui évite de manipuler des décimaux minuscules.
a) Malades : 1 sur 1000, soit = 100 malades. Personnes saines : 100 000 − 100 = 99 900.
b) On suit les deux chemins qui mènent à un test positif.
Chemin « malade puis positif » : 99 % des 100 malades, soit 0,99 × 100 = 99 vrais positifs.
Chemin « sain puis positif » : le test est négatif chez 99 % des personnes saines, donc positif chez 1 % d'entre elles : 0,01 × 99 900 = 999 FAUX POSITIFS.
Total de tests positifs : 99 + 999 = 1098.
c) On cherche P_positif(malade). On se place dans le monde des tests positifs : l'univers de référence est constitué des 1098 personnes positives, dont 99 sont réellement malades.
P_positif(malade) = .
On simplifie en divisant deux fois par 3 : = = ≈ 0,090.
Donc environ 9 % seulement des personnes testées positives sont malades.
d) Oui, le résultat surprend : un test « fiable à 99 % » se trompe ici dans 91 % des cas positifs. L'explication tient à la RARETÉ de la maladie.
Les personnes saines sont énormément plus nombreuses (99 900 contre 100). Même si le test ne se trompe que sur 1 % d'entre elles, ce 1 % représente 999 personnes, c'est-à-dire dix fois plus que les 99 vrais positifs.
Leçon à retenir : la fiabilité annoncée d'un test, c'est P_malade(positif) = 0,99 ; ce n'est pas du tout la même chose que P_positif(malade) ≈ 0,09. On ne peut pas retourner une probabilité conditionnelle. - 2
Lors d'une compétition, 4 % des sportifs sont dopés. Le contrôle antidopage utilisé détecte 95 % des sportifs dopés, mais déclare aussi positifs 2 % des sportifs non dopés. Un sportif est contrôlé positif. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement dopé ?
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On raisonne sur 10 000 sportifs pour travailler avec des entiers.
Dopés : 4 % de 10 000 = 0,04 × 10 000 = 400. Non dopés : 10 000 − 400 = 9600.
Chemin « dopé puis positif » : 95 % des 400 dopés, soit 0,95 × 400 = 380 vrais positifs.
Chemin « non dopé puis positif » : 2 % des 9600 non dopés, soit 0,02 × 9600 = 192 faux positifs.
Total des contrôles positifs : 380 + 192 = 572.
On cherche P_positif(dopé) : on se place parmi les 572 sportifs positifs, dont 380 sont réellement dopés.
P_positif(dopé) = .
On simplifie en divisant par 4 : ≈ 0,664.
Donc un sportif contrôlé positif n'a qu'environ 66 % de chances d'être réellement dopé : plus d'un contrôle positif sur trois est une erreur.
Interprétation : ici encore, la proportion de dopés est faible (4 %), donc les 2 % d'erreurs commises sur le très grand groupe des non-dopés produisent beaucoup de faux positifs. C'est précisément pour cette raison qu'un contrôle positif est systématiquement confirmé par un second test. - 3
Un institut interroge 800 personnes au sujet d'un vaccin contre la grippe. 480 personnes ont été vaccinées ; parmi elles, 24 ont eu la grippe. Au total, 104 personnes ont eu la grippe.
a) Complète le tableau croisé des effectifs.
b) Calcule la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait eu la grippe.
c) Calcule la probabilité d'avoir eu la grippe sachant qu'on est vacciné, puis sachant qu'on ne l'est pas.
d) Que peut-on conclure sur l'efficacité du vaccin ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Une usine se fournit chez deux fabricants : A livre 60 % des composants et B en livre 40 %. On sait que 3 % des composants de A sont défectueux, contre 8 % de ceux de B.
a) Calcule la probabilité qu'un composant pris au hasard soit défectueux.
b) Un composant défectueux est trouvé dans un lot. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fabricant B ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules bleues, identiques au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la REMET dans le sac, puis on tire une seconde boule (tirage AVEC remise).
a) Construis l'arbre pondéré du tirage.
b) Calcule la probabilité de tirer 2 boules rouges.
c) Calcule la probabilité de tirer une rouge et une bleue (dans n'importe quel ordre).
d) Calcule la probabilité de tirer au moins une rouge.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement 3 boules SANS remise.
a) Calcule la probabilité d'obtenir trois boules blanches.
b) Calcule la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On interroge 400 personnes sur un projet. Parmi les 200 hommes, 120 sont pour ; parmi les 200 femmes, 150 sont pour. On choisit une personne au hasard et on note F = « être une femme » et A = « être pour le projet ».
a) Calcule P(A).
b) Calcule P(F ∩ A).
c) Calcule (A) et (F).
d) Compare la proportion de personnes « pour » chez les femmes et chez les hommes.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Un joueur tire d'abord une carte dans un jeu de 32 cartes.
• S'il obtient un cœur, il lance ensuite un dé équilibré et il gagne s'il fait 5 ou 6.
• Sinon, il lance une pièce équilibrée et il gagne s'il obtient Pile.
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes, on la remet dans le jeu que l'on rebat, puis on tire une seconde carte (tirage AVEC remise).
a) Calcule la probabilité de tirer deux rois.
b) Calcule la probabilité de tirer deux cœurs.
c) Calcule la probabilité de tirer au moins un roi. - 10
Dans une usine, on suppose que la proportion de pièces défectueuses est p = 0,04 (soit 4 %). On prélève au hasard un échantillon de n = 200 pièces.
a) Combien de pièces défectueuses attend-on en moyenne dans un tel échantillon ?
b) On admet que, dans 95 % des cas, la fréquence de pièces défectueuses de l'échantillon est comprise entre les bornes p − et p + . Calcule ces deux bornes (arrondies au millième).
c) Un contrôle sur 200 pièces en révèle 16 défectueuses. Ce résultat est-il compatible avec l'hypothèse de 4 % de pièces défectueuses ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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