Statistiques descriptives

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1
Une série de températures exprimées en degrés Celsius a pour moyenne 20 et pour écart type 4. On convertit chaque température en degrés Fahrenheit par la formule $F = 1{,}8 \times C + 32$ .
Explique pourquoi le « $\mathord{}+ 32$ » ne change pas l'écart type.
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a) Par linéarité de la moyenne : moyenne des $F = 1{,}8 \times (\text{moyenne des} C) + 32 = 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68 ^{\circ}\mathrm{F}$ .
b) L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne. Multiplier toutes les valeurs par 1,8 multiplie tous les écarts à la moyenne par 1,8, donc multiplie l'écart type par 1,8. Ajouter 32 ne change pas ces écarts.
Nouvel écart type $= 1{,}8 \times 4 = 7{,}2 ^{\circ}\mathrm{F}$ .
c) Ajouter 32 à toutes les valeurs augmente aussi la moyenne de 32 : chaque valeur et la moyenne se décalent de la même quantité, donc l'écart (valeur $\mathord{}- \text{moyenne}$ ) reste identique. La dispersion, donc l'écart type, est inchangée. On dit qu'une translation ne modifie pas la dispersion.
2
Une série de 6 valeurs est : 12 ; 15 ; x ; 18 ; 14 ; 20. Sa moyenne vaut 16.
On ajoute une 7ᵉ valeur v pour que la moyenne reste égale à 16. Que doit valoir v ?
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a) La moyenne vaut 16 et il y a 6 valeurs, donc la somme vaut $6 \times 16 = 96$ .
Somme des valeurs connues : $12 + 15 + 18 + 14 + 20 = 79$ .
Donc $x = 96 - 79 = 17$ .
b) On ordonne la série : 12 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 20 (N = 6, pair).
Médiane = demi-somme des rangs 3 et $4 = \frac{(15+17)}{2} = 16$ .
c) Avec 7 valeurs, la moyenne est $\frac{(96+v)}{7}$ . On veut qu'elle vaille 16 :
$\frac{(96+v)}{7} = 16$ , donc $96 + v = 7 \times 16 = 112$ , donc $v = 112 - 96 = 16$ .
Remarque : ajouter une valeur égale à la moyenne actuelle ne modifie pas la moyenne. C'est logique !
3
a) Peut-on avoir une série de nombres dont l'écart type vaut 0 ? Explique dans quel cas.
b) Construis une série de 4 valeurs dont la moyenne est 10 et l'écart type est 5.
c) Une série a pour moyenne 10 et pour écart type 3. En utilisant la relation « variance $= \text{moyenne des carrés}$ − carré de la moyenne », détermine la moyenne des carrés des valeurs.
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4
On interroge 200 personnes sur leur mode de transport pour aller au travail, en croisant avec leur lieu d'habitation.
Voiture : 60 en ville, 50 à la campagne.
Vélo : 40 en ville, 10 à la campagne.
Transports en commun : 30 en ville, 10 à la campagne.
Parmi les automobilistes, quelle proportion habite en ville ? Explique pourquoi elle diffère de la fréquence conditionnelle de la voiture à la campagne.
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5
Une série est composée de 5 nombres entiers positifs. On sait que sa moyenne vaut 6, sa médiane vaut 5, son mode (valeur la plus fréquente) vaut 4, et ce mode est unique.
Trouve toutes les séries possibles.
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6
Dans un lycée, une classe de 20 élèves a une moyenne de 11 à un test ; une autre classe de 30 élèves a une moyenne de 13,5 au même test.
Un 21ᵉ élève rejoint la première classe de 20 élèves. Quelle note devrait-il avoir pour que la moyenne atteigne 11,5 ? Une telle note est-elle possible sur 20 ?
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7
Répartition des salaires mensuels (en €) dans une entreprise de 50 personnes : $[1000 \,;\, 1500[$ : 12 ; $[1500 \,;\, 2000[$ : 20 ; $[2000 \,;\, 2500[$ : 10 ; $[2500 \,;\, 3000[$ : 5 ; $[3000 \,;\, 3500[$ : 3.
Dans quelles classes se trouvent Q1 et Q3 ?
Je compare les hauteurs !
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8
Un professeur relève les notes (sur 20) de 25 élèves : 6 (1 élève), 8 (2), 9 (3), 10 (4), 11 (3), 12 (4), 13 (2), 14 (3), 15 (2), 18 (1).
Le professeur veut savoir si au moins la moitié de la classe a la moyenne (note $\ge 10$ ). Quel pourcentage d'élèves a une note supérieure ou égale à 10 ?
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9
Deux classes ont passé le même test (notes sur 20).
Classe A : 10 ; 10 ; 12 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 16.
Classe B : 6 ; 8 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 ; 18.
Calcule l'écart type de chaque classe (arrondi au centième) et dis quelle classe est la plus homogène.
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10
On relève les notes (sur 20) de 20 élèves : la note 8 (2 élèves), 10 (3), 12 (5), 14 (6), 16 (3), 18 (1).
Calcule la variance puis l'écart type (arrondi au centième).
Je compare les hauteurs !
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