Vecteurs du plan : définition et opérations

🟠 Difficile

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1
Réduis l'écriture du vecteur $\vec{u} = 3\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) - 2\overrightarrow{AC}$ .
a) Simplifie d'abord la parenthèse.
b) Termine le calcul et conclus.
Voir le corrigéoffert
a) Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

b) $\vec{u} = 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$ .
Le vecteur $\vec{u}$ est donc simplement $\overrightarrow{AC}$ .
Ce résultat ne dépend d'aucune hypothèse sur les points : il vaut pour tout triangle.
2
Simplifie les écritures suivantes.
a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$ .
b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$ .
Voir le corrigéoffert
a) Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé : $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$ .
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

b) On réordonne pour enchaîner les lettres :
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ .
Par Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ , puis $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ .
Le résultat est $\overrightarrow{AD}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soient A, B et C trois points, et M le point tel que $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
a) Quelle est la nature du quadrilatère ABMC ?
b) Exprime $\overrightarrow{BM}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ .
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4
ABCD est un parallélogramme de centre O.
a) Simplifie $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ .
b) Démontre que $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ .
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5
ABCD est un quadrilatère quelconque.
a) Simplifie $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$ .
b) Que peut-on en conclure ?
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6
Soient A et B deux points, et K le milieu de $[AB]$ .
a) Exprime $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ .
b) Démontre que pour tout point M du plan, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MK}$ .
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7
ABC est un triangle et I est le milieu de $[BC]$ .
a) Démontre que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$ .
b) Déduis-en l'expression de $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
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8
Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .
a) Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ?
b) Démontre que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .
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9
A et B sont deux points distincts, et E est défini par $\overrightarrow{AE} = 4\overrightarrow{AB}$ .
a) Démontre que A, B et E sont alignés, puis compare AE et AB.
b) Exprime $\overrightarrow{BE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ .
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10
Soit ABC un triangle et G le point défini par $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ , où I est le milieu de $[BC]$ .
a) Exprime $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
b) Que représente le point G dans le triangle ?
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