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Vecteurs du plan : définition et opérations

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  1. 1

    ABCD est un parallélogramme de centre O.
    a) Simplifie AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
    b) Démontre que OA→+OC→=0⃗\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}.

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    a) Dans un parallélogramme, AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.
    Donc AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} (relation de Chasles).

    b) O est le centre du parallélogramme : c'est le milieu de la diagonale [AC][AC].
    Les vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et OC→\overrightarrow{OC} ont donc la même longueur et des sens opposés.
    Autrement dit OC→=−OA→\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}.
    D'où OA→+OC→=OA→−OA→=0⃗\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OA} = \vec{0}.

  2. 2

    ABC est un triangle et I est le milieu de [BC][BC].
    a) Démontre que AB→+AC→=2AI→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}.
    b) Déduis-en l'expression de AI→\overrightarrow{AI} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

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    a) On introduit I par la relation de Chasles.
    AB→=AI→+IB→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} et AC→=AI→+IC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}.
    En additionnant : AB→+AC→=2AI→+IB→+IC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}.
    Or I est le milieu de [BC][BC], donc IB→+IC→=0⃗\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}.
    Il reste AB→+AC→=2AI→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}.

    b) En divisant par 2 : AI→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right).

  3. 3

    Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
    a) Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ?
    b) Démontre que AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.

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  4. 4

    Simplifie les écritures suivantes.
    a) AB→−CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}.
    b) AB→+CD→+BC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.

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  5. 5

    A et B sont deux points distincts, et E est défini par AE→=4AB→\overrightarrow{AE} = 4\overrightarrow{AB}.
    a) Démontre que A, B et E sont alignés, puis compare AE et AB.
    b) Exprime BE→\overrightarrow{BE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.

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  6. 6

    Réduis l'écriture du vecteur u⃗=3(AB→+BC→)−2AC→\vec{u} = 3\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) - 2\overrightarrow{AC}.
    a) Simplifie d'abord la parenthèse.
    b) Termine le calcul et conclus.

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  7. 7

    ABCD est un quadrilatère quelconque.
    a) Simplifie AB→+BC→+CD→+DA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}.
    b) Que peut-on en conclure ?

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  8. 8

    Soit ABC un triangle et G le point défini par AG→=23AI→\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}, où I est le milieu de [BC][BC].
    a) Exprime AG→\overrightarrow{AG} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
    b) Que représente le point G dans le triangle ?

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  9. 9

    Soient A, B et C trois points, et M le point tel que AM→=AB→+AC→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.
    a) Quelle est la nature du quadrilatère ABMC ?
    b) Exprime BM→\overrightarrow{BM} en fonction de AC→\overrightarrow{AC}.

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  10. 10

    Soient A et B deux points, et K le milieu de [AB][AB].
    a) Exprime AK→\overrightarrow{AK} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
    b) Démontre que pour tout point M du plan, MA→+MB→=2MK→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MK}.

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