Vecteurs du plan
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On donne A(−3 ; 2) et B(1 ; −4). a) Calcule les coordonnées de AB⃗. b) Calcule la norme ‖AB⃗‖. c) Détermine les coordonnées du milieu M de [AB].
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a) AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA) = (1 − (−3) ; −4 − 2) = (4 ; −6).
b) ‖AB⃗‖ = √(4² + (−6)²) = √(16 + 36) = √52. On simplifie : √52 = √(4 × 13) = 2√13 (≈ 7,21).
c) xM = (−3 + 1) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1 et yM = (2 + (−4)) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1.
Donc M(−1 ; −1). - 2
On donne A(1 ; 2), B(5 ; 3) et C(6 ; 7). Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
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ABCD est un parallélogramme lorsque les côtés opposés [AB] et [DC] sont représentés par des vecteurs égaux, c'est-à-dire AB⃗ = DC⃗.
Calcul de AB⃗ : (5 − 1 ; 3 − 2) = (4 ; 1).
On cherche D tel que DC⃗ = (4 ; 1), soit (xC − xD ; yC − yD) = (4 ; 1).
Abscisse : 6 − xD = 4, donc xD = 2.
Ordonnée : 7 − yD = 1, donc yD = 6.
Donc D(2 ; 6).
Vérification : AD⃗ = (2 − 1 ; 6 − 2) = (1 ; 4) et BC⃗ = (6 − 5 ; 7 − 3) = (1 ; 4). On a bien AD⃗ = BC⃗, c'est cohérent. - 3
Les vecteurs u⃗(3 ; −2) et v⃗(−9 ; 6) sont-ils colinéaires ? Justifie par un calcul.
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On donne A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(7 ; 10). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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Simplifie l'écriture du vecteur AB⃗ − CB⃗.
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On donne u⃗(2 ; 3) et v⃗(6 ; k), où k est un nombre inconnu. Détermine la valeur de k pour que u⃗ et v⃗ soient colinéaires.
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On donne A(4 ; −1) et le vecteur AB⃗ de coordonnées (−3 ; 5). Détermine les coordonnées du point B.
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On donne u⃗(1 ; −2) et v⃗(2 ; 1). Détermine les coordonnées du vecteur 2·u⃗ − 3·v⃗.
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On donne A(0 ; 0), B(2 ; 3), C(1 ; 1) et D(5 ; 7). Démontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
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Le vecteur u⃗ a pour coordonnées (−5 ; 12). Calcule sa norme ‖u⃗‖.
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