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Vecteurs du plan : définition et opérations

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  1. 1

    Simplifie l'écriture du vecteur AB→−CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}.

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    On transforme d'abord la soustraction : −CB→=BC→-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC} (vecteur opposé).
    Ainsi AB→−CB→=AB→+BC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.
    Par la relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
    Résultat : AB→−CB→=AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}.

  2. 2

    Simplifie l'écriture du vecteur AB→+CD→+BC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.

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    Les points ne s'enchaînent pas dans l'ordre où ils sont écrits : on commence donc par réorganiser la somme, ce qui est permis car l'addition de vecteurs est commutative.
    AB→+CD→+BC→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.
    On applique ensuite deux fois la relation de Chasles.
    AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, puis AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.
    Résultat : AB→+CD→+BC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

  3. 3

    Simplifie l'écriture du vecteur AB→−AC→+CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}.

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  4. 4

    ABCD est un parallélogramme. Démontre que AC→+BD→=2⋅BC→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\cdot \overrightarrow{BC}.

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  5. 5

    Soient A, B, C et D quatre points du plan. Démontre que AB→+CD→=AD→+CB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.

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  6. 6

    Soient A, B, C et D quatre points du plan. Démontre que si AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.

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  7. 7

    Réduis l'écriture du vecteur u⃗=2⋅(AB→+BC→)−3⋅AC→\vec{u} = 2\cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) - 3\cdot \overrightarrow{AC}.

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  8. 8

    ABC est un triangle et I est le milieu du segment [BC]. Démontre que AB→+AC→=2⋅AI→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\cdot \overrightarrow{AI}.

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  9. 9

    ABCD est un parallélogramme de centre O.
    a) Simplifie l'écriture du vecteur AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
    b) Démontre que OA→+OC→=0⃗\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}.

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  10. 10

    A et B sont deux points distincts. On définit le point E par l'égalité AE→=3⋅AB→\overrightarrow{AE} = 3\cdot \overrightarrow{AB}.
    a) Démontre que les points A, B et E sont alignés.
    b) Compare les longueurs AE et AB.
    c) Exprime BE→\overrightarrow{BE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.

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