Vecteurs du plan
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Dans un repère, on donne A(−2 ; 1), B(4 ; 3) et C(0 ; −3). a) Montre que A, B et C ne sont pas alignés. b) Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme. c) Détermine les coordonnées du centre de ce parallélogramme.
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a) On calcule AB⃗ = (4 − (−2) ; 3 − 1) = (6 ; 2) et AC⃗ = (0 − (−2) ; −3 − 1) = (2 ; −4).
det(AB⃗ ; AC⃗) = 6 × (−4) − 2 × 2 = −24 − 4 = −28.
Le déterminant n'est pas nul, donc AB⃗ et AC⃗ ne sont pas colinéaires : les points A, B, C ne sont pas alignés (ils forment un vrai triangle).
b) ABCD est un parallélogramme lorsque AB⃗ = DC⃗. On écrit (xC − xD ; yC − yD) = (6 ; 2).
0 − xD = 6 donne xD = −6 ; −3 − yD = 2 donne yD = −5.
Donc D(−6 ; −5).
Vérification : AD⃗ = (−6 − (−2) ; −5 − 1) = (−4 ; −6) et BC⃗ = (0 − 4 ; −3 − 3) = (−4 ; −6). On a bien AD⃗ = BC⃗.
c) Le centre est le milieu commun des diagonales. Milieu de [AC] : ((−2 + 0) ÷ 2 ; (1 + (−3)) ÷ 2) = (−1 ; −1).
Vérification avec [BD] : ((4 + (−6)) ÷ 2 ; (3 + (−5)) ÷ 2) = (−1 ; −1). Les deux milieux coïncident : le centre est (−1 ; −1). - 2
On donne A(1 ; 2), B(4 ; 8) et C(−1 ; −2). a) Montre que A, B et C sont alignés. b) Exprime le vecteur BC⃗ sous la forme k·AB⃗, en précisant la valeur de k. c) Détermine les coordonnées du point E tel que AE⃗ = 2·AB⃗.
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a) AB⃗ = (4 − 1 ; 8 − 2) = (3 ; 6) et AC⃗ = (−1 − 1 ; −2 − 2) = (−2 ; −4).
det(AB⃗ ; AC⃗) = 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0.
Le déterminant est nul : AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
b) BC⃗ = (−1 − 4 ; −2 − 8) = (−5 ; −10). On cherche k tel que (−5 ; −10) = k·(3 ; 6).
Sur l'abscisse : 3k = −5, donc k = . Sur l'ordonnée : 6k = 6 × () = −10, c'est cohérent.
Donc BC⃗ = ·AB⃗.
c) AE⃗ = 2·AB⃗ = 2·(3 ; 6) = (6 ; 12). Alors E = A + AE⃗ : xE = 1 + 6 = 7 et yE = 2 + 12 = 14.
Donc E(7 ; 14). - 3
On donne A(1 ; 2), B(3 ; m) et C(5 ; 8), où m est un nombre inconnu. a) Exprime les coordonnées de AB⃗ et de AC⃗ en fonction de m. b) Calcule le déterminant de AB⃗ et AC⃗. c) Détermine la valeur de m pour que A, B et C soient alignés. d) Vérifie ta réponse.
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Soient A, B, C, D quatre points du plan. On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. a) Démontre que IJ⃗ = ·(AB⃗ + CD⃗). b) Application : avec A(1 ; 0), B(5 ; 2), C(3 ; 6) et D(−1 ; 4), calcule les coordonnées de I et de J, puis vérifie l'égalité de la question a).
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On donne A(1 ; 2) et B(5 ; 4). On cherche un point M situé sur l'axe des abscisses tel que MA = MB. a) M ayant pour coordonnées (x ; 0), exprime MA² et MB² en fonction de x. b) Traduis MA = MB par une équation et résous-la. c) Donne les coordonnées de M et vérifie.
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On considère le triangle de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(3 ; 6). On note G le centre de gravité (isobarycentre) de ce triangle. a) Détermine les coordonnées de G. b) Vérifie que GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗.
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On donne A(0 ; 0), B(6 ; 2) et C(2 ; 8). On appelle I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. a) Détermine les coordonnées de I et de J. b) Calcule les coordonnées de IJ⃗ et de BC⃗. c) Démontre que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et compare les longueurs IJ et BC.
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On donne A(1 ; −2) et B(7 ; 4). On cherche le point P tel que AP⃗ = ·AB⃗. a) Calcule les coordonnées de AB⃗. b) Calcule les coordonnées de AP⃗. c) Détermine les coordonnées de P, puis vérifie que P appartient bien au segment [AB].
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On donne A(2 ; 1), B(6 ; 3) et C(1 ; 4). a) Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme. b) Calcule les longueurs AB et BC (valeurs exactes). c) Déduis-en le périmètre du parallélogramme ABCD.
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ABC est un triangle. On travaille avec les vecteurs AB⃗ et AC⃗. a) Exprime BC⃗ en fonction de AB⃗ et AC⃗. b) Simplifie et exprime u⃗ = 3·AB⃗ + 2·BC⃗ en fonction de AB⃗ et AC⃗. c) Simplifie et exprime v⃗ = AB⃗ − 3·AC⃗ + 2·BC⃗ en fonction de AB⃗ et AC⃗.
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