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Vecteurs du plan : définition et opérations

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  1. 1

    ABC est un triangle. On travaille avec les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
    Simplifie et exprime v⃗=AB→−3⋅AC→+2⋅BC→\vec{v} = \overrightarrow{AB} - 3\cdot \overrightarrow{AC} + 2\cdot \overrightarrow{BC} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

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    a) Par la relation de Chasles : BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, autrement dit BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.
    b) On remplace BC→\overrightarrow{BC} par AC→−AB→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} :
    u⃗=3⋅AB→+2⋅(AC→−AB→)=3⋅AB→+2⋅AC→−2⋅AB→=AB→+2⋅AC→\vec{u} = 3\cdot \overrightarrow{AB} + 2\cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 3\cdot \overrightarrow{AB} + 2\cdot \overrightarrow{AC} - 2\cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + 2\cdot \overrightarrow{AC}.
    c) De même :
    v⃗=AB→−3⋅AC→+2⋅(AC→−AB→)=AB→−3⋅AC→+2⋅AC→−2⋅AB→=(AB→−2⋅AB→)+(−3⋅AC→+2⋅AC→)=−AB→−AC→\vec{v} = \overrightarrow{AB} - 3\cdot \overrightarrow{AC} + 2\cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} - 3\cdot \overrightarrow{AC} + 2\cdot \overrightarrow{AC} - 2\cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AB} - 2\cdot \overrightarrow{AB}) + (-3\cdot \overrightarrow{AC} + 2\cdot \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}.

  2. 2

    ABC est un triangle. On définit M par AM→=23⋅AB→\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{AB} et N par AN→=23⋅AC→\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{AC}.
    Quel est le rapport entre les longueurs MN et BC ? Justifie.

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    a) Par la relation de Chasles : MN→=MA→+AN→=−AM→+AN→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}.
    On remplace : MN→=−23⋅AB→+23⋅AC→=23⋅(AC→−AB→)\overrightarrow{MN} = -\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}).
    b) Or AC→−AB→=BA→+AC→=BC→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.
    Donc MN→=23⋅BC→\overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{BC} : les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires, ce qui prouve que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
    c) Le coefficient de colinéarité vaut 23\frac{2}{3}, qui est positif, donc MN=23×BCMN = \frac{2}{3} \times BC.
    Cohérence : M et N sont placés aux deux tiers de [AB] et de [AC] en partant de A, il est logique que [MN] mesure les deux tiers de [BC].

  3. 3

    ABC est un triangle. On définit le point E par l'égalité AE→=3⋅AB→−2⋅AC→\overrightarrow{AE} = 3\cdot \overrightarrow{AB} - 2\cdot \overrightarrow{AC}.
    Montre que les points C, B et E sont alignés, puis précise la position de B.

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  4. 4

    ABC est un triangle et G est son centre de gravité, c'est-à-dire le point vérifiant GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.
    Démontre que pour tout point M du plan, MA→+MB→+MC→=3⋅MG→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\cdot \overrightarrow{MG}.

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  5. 5

    ABC est un triangle. On pose u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec{v} = \overrightarrow{AC}. On note I le milieu de [BC] et J le milieu de [AC].
    Exprime en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} les vecteurs suivants :
    a) BC→\overrightarrow{BC}
    b) AI→\overrightarrow{AI}
    c) BJ→\overrightarrow{BJ}
    d) IJ→\overrightarrow{IJ}

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  6. 6

    ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].
    Que peut-on dire des droites (IJ) et (BC), et des longueurs IJ et BC ? Justifie.

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  7. 7

    ABCD est un quadrilatère quelconque. On note I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
    Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Justifie.

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  8. 8

    ABCD est un parallélogramme. On définit le point E par l'égalité AE→=AB→+2⋅AD→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + 2\cdot \overrightarrow{AD}.
    Démontre que C est le milieu du segment [BE].

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  9. 9

    ABCD est un quadrilatère. On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
    Énonce la propriété démontrée.

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  10. 10

    ABC est un triangle. On appelle G le point défini par l'égalité GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} (c'est le centre de gravité du triangle).
    On note I le milieu de [BC]. Démontre que AG→=23⋅AI→\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{AI}.

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