Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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1
On donne $A(-2 \,;\, 5)$ et $B(4 \,;\, -3)$ .
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et sa norme.
b) Détermine les coordonnées du milieu M de $[AB]$ .
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a) $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)$ .
$x = 4 - (-2) = 6$ et $y = -3 - 5 = -8$ .
Donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}$ .
$\Vert \overrightarrow{AB} \Vert = \sqrt{6^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

b) Le milieu a pour coordonnées les moyennes : $\frac{-2 + 4}{2} = 1$ et $\frac{5 - 3}{2} = 1$ .
Donc $M(1 \,;\, 1)$ .
2
On donne $A(2 \,;\, 1)$ , $B(6 \,;\, 4)$ et $C(8 \,;\, 9)$ .
a) Détermine les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme.
b) Vérifie ton résultat en calculant $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ .
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a) ABCD est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
On cherche D tel que $(8 - x_D \,;\, 9 - y_D) = (4 \,;\, 3)$ .
Donc $x_D = 4$ et $y_D = 6$ : $D(4 \,;\, 6)$ .

b) $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
Les deux vecteurs sont égaux : le quadrilatère est bien un parallélogramme ✓.
3
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -10 \\ 15 \end{pmatrix}$ .
a) Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? Justifie par le calcul.
b) Si oui, donne le coefficient $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ .
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4
On donne $A(1 \,;\, 2)$ , $B(4 \,;\, 6)$ et $C(10 \,;\, 14)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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5
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 12 \\ k \end{pmatrix}$ .
a) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
b) Quelle est alors la valeur du coefficient de proportionnalité ?
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6
On donne $A(5 \,;\, -2)$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine les coordonnées de B.
b) Détermine les coordonnées du point C tel que $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ .
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7
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule les coordonnées de $3\vec{u} - 2\vec{v}$ .
b) Ce vecteur est-il colinéaire à $\vec{w}\begin{pmatrix} -8 \\ -22 \end{pmatrix}$ ?
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8
On donne $A(0 \,;\, 1)$ , $B(3 \,;\, 5)$ , $C(2 \,;\, -1)$ et $D(8 \,;\, 7)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ .
b) Démontre que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
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9
On donne $A(-1 \,;\, 3)$ , $B(5 \,;\, 1)$ et $C(3 \,;\, 7)$ .
a) Calcule les longueurs AB, AC et BC (valeurs exactes).
b) Le triangle ABC est-il isocèle ? rectangle ?
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10
On donne $A(2 \,;\, 3)$ , $B(6 \,;\, 5)$ et $C(4 \,;\, k)$ .
a) Détermine $k$ pour que A, B et C soient alignés.
b) Vérifie que C est alors le milieu de $[AB]$ .
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