Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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1
Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -5 \\ 12 \end{pmatrix}$ . Calcule sa norme $\Vert \vec{u}\Vert$ .
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$\Vert \vec{u}\Vert = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(-5)^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .
La norme de $\vec{u}$ vaut 13.
2
Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ? Justifie par un calcul.
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On calcule le déterminant.
$\det (\vec{u} \,;\, \vec{v}) = x\cdot y' - y\cdot x' = 3 \times 6 - (-2) \times (-9) = 18 - 18 = 0$ .
Le déterminant est nul : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Remarque : $\vec{v} = -3\cdot \vec{u}$ , ce qui confirme la colinéarité.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix}$ , où k est un nombre inconnu. Détermine la valeur de k pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
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4
On donne $A(4 \,;\, -1)$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du point B.
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5
On donne $A(1 \,;\, 1)$ , $B(3 \,;\, 4)$ et $C(7 \,;\, 10)$ . Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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6
On donne $A(-3 \,;\, 2)$ et $B(1 \,;\, -4)$ .
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ .
b) Calcule la norme $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ .
c) Détermine les coordonnées du milieu M de [AB].
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7
On donne $A(0 \,;\, 0)$ , $B(2 \,;\, 3)$ , $C(1 \,;\, 1)$ et $D(5 \,;\, 7)$ . Démontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
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8
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du vecteur $2\cdot \vec{u} - 3\cdot \vec{v}$ .
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9
On donne $A(1 \,;\, 2)$ , $B(5 \,;\, 3)$ et $C(6 \,;\, 7)$ . Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
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10
On donne $A(-2 \,;\, 3)$ , $B(4 \,;\, 1)$ et $C(1 \,;\, -7)$ . Détermine les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC, puis vérifie que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ .
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