Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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1
On donne A(−3 ; 2) et B(1 ; −4).
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ .
b) Calcule la norme ‖ $\overrightarrow{AB}$ ‖.
c) Détermine les coordonnées du milieu M de [AB].
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a) $\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 - (-3) \\ -4 - 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ .
b) ‖ $\overrightarrow{AB}$ ‖ = √(4² + (−6)²) = √(16 + 36) = √52. On simplifie : √52 = √(4 × 13) = 2√13 (≈ 7,21).
c) $x_{M}$ = (−3 + 1) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1 et $y_{M}$ = (2 + (−4)) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1.
Donc M(−1 ; −1).
2
On donne A(1 ; 2), B(5 ; 3) et C(6 ; 7). Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
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ABCD est un parallélogramme lorsque les côtés opposés [AB] et [DC] sont représentés par des vecteurs égaux, c'est-à-dire $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ .
Calcul de $\overrightarrow{AB}$ : $\begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
On cherche D tel que $\overrightarrow{DC}$ = $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ , soit $\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Abscisse : 6 − $x_{D}$ = 4, donc $x_{D}$ = 2.
Ordonnée : 7 − $y_{D}$ = 1, donc $y_{D}$ = 6.
Donc D(2 ; 6).
Vérification : $\overrightarrow{AD}$ = $\begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}$ = $\begin{pmatrix} 6 - 5 \\ 7 - 3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ . On a bien $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$ , c'est cohérent.
3
Les vecteurs $\vec{u}$ $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}$ $\begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ? Justifie par un calcul.
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4
On donne A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(7 ; 10). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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5
On donne $\vec{u}$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}$ $\begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix}$ , où k est un nombre inconnu. Détermine la valeur de k pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
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6
On donne A(4 ; −1) et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du point B.
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7
On donne $\vec{u}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du vecteur 2· $\vec{u}$ − 3· $\vec{v}$ .
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8
On donne A(0 ; 0), B(2 ; 3), C(1 ; 1) et D(5 ; 7). Démontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
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9
Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -5 \\ 12 \end{pmatrix}$ . Calcule sa norme ‖ $\vec{u}$ ‖.
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10
On donne A(−2 ; 3), B(4 ; 1) et C(1 ; −7). Détermine les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC, puis vérifie que $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ = $\vec{0}$ .
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