Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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1
On donne $A(0 \,;\, 0)$ , $B(6 \,;\, 2)$ et $C(2 \,;\, 8)$ . On appelle I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC].
Démontre que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et donne le rapport entre les longueurs IJ et BC.
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a) I milieu de [AB] : $((0 + 6) \div 2 \,;\, (0 + 2) \div 2) = (3 \,;\, 1)$ . J milieu de [AC] : $((0 + 2) \div 2 \,;\, (0 + 8) \div 2) = (1 \,;\, 4)$ .
b) $\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ . $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 2 - 6 \\ 8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
c) On remarque que $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2\cdot \overrightarrow{IJ}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont donc colinéaires, ce qui prouve que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
De plus, comme $\overrightarrow{BC} = 2\cdot \overrightarrow{IJ}$ , on a $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert = 2\cdot \Vert \overrightarrow{IJ}\Vert$ , c'est-à-dire $BC = 2 \times IJ$ , donc $IJ = \frac{1}{2}\cdot BC$ . On retrouve le théorème des milieux.
2
On donne $A(1 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, m)$ et $C(5 \,;\, 8)$ , où m est un nombre inconnu.
Détermine la valeur de m pour que A, B et C soient alignés.
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a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ m - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ m - 2 \end{pmatrix}$ . $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
b) $\det (\overrightarrow{AB} \,;\, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 6 - (m - 2) \times 4 = 12 - 4(m - 2) = 12 - 4m + 8 = 20 - 4m$ .
c) Les points sont alignés lorsque le déterminant est nul : $20 - 4m = 0$ , donc $4m = 20$ , soit $m = 5$ .
Vérification : pour $m = 5$ , on a $B(3 \,;\, 5)$ et $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Or $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2\cdot \overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, les points sont bien alignés.
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3
On donne $A(1 \,;\, -2)$ et $B(7 \,;\, 4)$ . On cherche le point P tel que $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{AB}$ .
Détermine les coordonnées de P, puis vérifie que P appartient bien au segment [AB].
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4
On considère le triangle de sommets $A(0 \,;\, 0)$ , $B(6 \,;\, 0)$ et $C(3 \,;\, 6)$ . On note G le centre de gravité (isobarycentre) de ce triangle.
Vérifie que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ .
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5
On donne $A(2 \,;\, 1)$ , $B(6 \,;\, 3)$ et $C(1 \,;\, 4)$ .
Calcule le périmètre du parallélogramme ABCD.
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6
On donne $A(1 \,;\, 2)$ et $B(5 \,;\, 4)$ . On cherche un point M situé sur l'axe des abscisses tel que $MA = MB$ .
Donne les coordonnées de M et vérifie.
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7
On donne $A(1 \,;\, 2)$ , $B(4 \,;\, 8)$ et $C(-1 \,;\, -2)$ .
Détermine les coordonnées du point E tel que $\overrightarrow{AE} = 2\cdot \overrightarrow{AB}$ .
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8
Dans un repère, on donne $A(-2 \,;\, 1)$ , $B(4 \,;\, 3)$ et $C(0 \,;\, -3)$ .
Détermine les coordonnées du centre du parallélogramme ABCD.
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9
Soient A, B, C, D quatre points du plan. On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
Application : avec $A(1 \,;\, 0)$ , $B(5 \,;\, 2)$ , $C(3 \,;\, 6)$ et $D(-1 \,;\, 4)$ , calcule les coordonnées de I et de J, puis contrôle l'égalité vectorielle.
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10
On donne $A(1 \,;\, 2)$ et $B(7 \,;\, -4)$ . On appelle G le barycentre du système de points pondérés $(A \,;\, 2)$ et $(B \,;\, 1)$ , c'est-à-dire l'unique point vérifiant $2\cdot \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ .
a) Démontre que $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AB}$ .
b) Détermine les coordonnées de G.
c) Vérifie par le calcul que $2\cdot \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ .
d) Où se situe G sur le segment [AB] ? Explique pourquoi la position obtenue est logique.
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