Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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1
Dans un repère, on donne A(−2 ; 1), B(4 ; 3) et C(0 ; −3).
a) Montre que A, B et C ne sont pas alignés.
b) Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
c) Détermine les coordonnées du centre de ce parallélogramme.
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a) On calcule $\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 3 - 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ -3 - 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ .
det( $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$ ) = 6 × (−4) − 2 × 2 = −24 − 4 = −28.
Le déterminant n'est pas nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : les points A, B, C ne sont pas alignés (ils forment un vrai triangle).
b) ABCD est un parallélogramme lorsque $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ . On écrit $\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
0 − $x_{D}$ = 6 donne $x_{D}$ = −6 ; −3 − $y_{D}$ = 2 donne $y_{D}$ = −5.
Donc D(−6 ; −5).
Vérification : $\overrightarrow{AD}$ = $\begin{pmatrix} -6 - (-2) \\ -5 - 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}$ = $\begin{pmatrix} 0 - 4 \\ -3 - 3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix}$ . On a bien $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$ .
c) Le centre est le milieu commun des diagonales. Milieu de [AC] : ((−2 + 0) ÷ 2 ; (1 + (−3)) ÷ 2) = (−1 ; −1).
Vérification avec [BD] : ((4 + (−6)) ÷ 2 ; (3 + (−5)) ÷ 2) = (−1 ; −1). Les deux milieux coïncident : le centre est (−1 ; −1).
2
On donne A(1 ; 2), B(4 ; 8) et C(−1 ; −2).
a) Montre que A, B et C sont alignés.
b) Exprime le vecteur $\overrightarrow{BC}$ sous la forme k· $\overrightarrow{AB}$ , en précisant la valeur de k.
c) Détermine les coordonnées du point E tel que $\overrightarrow{AE}$ = 2· $\overrightarrow{AB}$ .
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a) $\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 8 - 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix} -1 - 1 \\ -2 - 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ .
det( $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$ ) = 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0.
Le déterminant est nul : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
b) $\overrightarrow{BC}$ = $\begin{pmatrix} -1 - 4 \\ -2 - 8 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -5 \\ -10 \end{pmatrix}$ . On cherche k tel que $\begin{pmatrix} -5 \\ -10 \end{pmatrix}$ = k· $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
Sur l'abscisse : 3k = −5, donc k = $\frac{-5}{3}$ . Sur l'ordonnée : 6k = 6 × ( $\frac{-5}{3}$ ) = −10, c'est cohérent.
Donc $\overrightarrow{BC}$ = $\frac{-5}{3}$ · $\overrightarrow{AB}$ .
c) $\overrightarrow{AE}$ = 2· $\overrightarrow{AB}$ = 2· $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}$ . Alors E = A + $\overrightarrow{AE}$ : $x_{E}$ = 1 + 6 = 7 et $y_{E}$ = 2 + 12 = 14.
Donc E(7 ; 14).
3
On donne A(1 ; 2), B(3 ; m) et C(5 ; 8), où m est un nombre inconnu.
a) Exprime les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$ en fonction de m.
b) Calcule le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
c) Détermine la valeur de m pour que A, B et C soient alignés.
d) Vérifie ta réponse.
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4
Soient A, B, C, D quatre points du plan. On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
a) Démontre que $\overrightarrow{IJ}$ = $\frac{1}{2}$ ·( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{CD}$ ).
b) Application : avec A(1 ; 0), B(5 ; 2), C(3 ; 6) et D(−1 ; 4), calcule les coordonnées de I et de J, puis vérifie l'égalité de la question a).
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5
On donne A(1 ; 2) et B(5 ; 4). On cherche un point M situé sur l'axe des abscisses tel que MA = MB.
a) M ayant pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ , exprime MA² et MB² en fonction de x.
b) Traduis MA = MB par une équation et résous-la.
c) Donne les coordonnées de M et vérifie.
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6
On considère le triangle de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(3 ; 6). On note G le centre de gravité (isobarycentre) de ce triangle.
a) Détermine les coordonnées de G.
b) Vérifie que $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ = $\vec{0}$ .
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7
On donne A(0 ; 0), B(6 ; 2) et C(2 ; 8). On appelle I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC].
a) Détermine les coordonnées de I et de J.
b) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ et de $\overrightarrow{BC}$ .
c) Démontre que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et compare les longueurs IJ et BC.
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8
On donne A(1 ; −2) et B(7 ; 4). On cherche le point P tel que $\overrightarrow{AP}$ = $\frac{2}{3}$ · $\overrightarrow{AB}$ .
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ .
b) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AP}$ .
c) Détermine les coordonnées de P, puis vérifie que P appartient bien au segment [AB].
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9
On donne A(2 ; 1), B(6 ; 3) et C(1 ; 4).
a) Détermine les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
b) Calcule les longueurs AB et BC (valeurs exactes).
c) Déduis-en le périmètre du parallélogramme ABCD.
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10
On donne A(1 ; 2) et B(7 ; −4). On appelle G le barycentre du système de points pondérés (A ; 2) et (B ; 1), c'est-à-dire l'unique point vérifiant 2· $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ = $\vec{0}$ .
a) Démontre que $\overrightarrow{AG}$ = $\frac{1}{3}$ · $\overrightarrow{AB}$ .
b) Détermine les coordonnées de G.
c) Vérifie par le calcul que 2· $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ = $\vec{0}$ .
d) Où se situe G sur le segment [AB] ? Ce résultat est-il logique ?
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