Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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1
On donne A(2 ; 1) et B(5 ; 7). Détermine les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
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Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent en soustrayant les coordonnées de A à celles de B.
Abscisse : $x_{B}$ − $x_{A}$ = 5 − 2 = 3
Ordonnée : $y_{B}$ − $y_{A}$ = 7 − 1 = 6
En colonne : $\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 7 - 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
Donc $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
Vérification : en partant de A(2 ; 1) et en avançant de +3 en x et +6 en y, on arrive en (5 ; 7), c'est bien le point B.
2
Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Donne les coordonnées du vecteur 3· $\vec{u}$ .
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Multiplier un vecteur par le réel 3 revient à multiplier chacune de ses coordonnées par 3.
Abscisse : 3 × (−2) = −6
Ordonnée : 3 × 5 = 15
En colonne : 3· $\vec{u}$ = 3· $\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 \times (-2) \\ 3 \times 5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -6 \\ 15 \end{pmatrix}$ .
Donc 3· $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -6 \\ 15 \end{pmatrix}$ .
Le vecteur 3· $\vec{u}$ a la même direction et le même sens que $\vec{u}$ (car 3 > 0), mais il est trois fois plus long.
3
Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Calcule sa norme ‖ $\vec{u}$ ‖.
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4
On donne A(1 ; 3) et B(7 ; 9). Détermine les coordonnées du milieu M du segment [AB].
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5
On donne le point C(3 ; 0) et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du point D tel que $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{AB}$ .
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6
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ . Donne les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BA}$ .
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7
Les vecteurs $\vec{u}$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}$ $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
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8
On donne $\vec{u}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}$ $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ + $\vec{v}$ .
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9
On donne $\vec{u}$ $\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}$ $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Détermine les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ − $\vec{v}$ .
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10
On donne A(2 ; −3) et B(6 ; 0). Calcule la distance AB.
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