Équations-produits et équations x² = a

🟠 Difficile

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1
On pose $Q = x^{2} + 10x + 25$ .
a) Factorise Q.
b) Résous l'équation $Q = 0$ et dis combien elle a de solutions.
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a) On reconnaît $a^{2} + 2ab + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 5$ : $2 \times x \times 5 = 10x$ ✓ et $5^{2} = 25$ .
$Q = (x + 5)^{2}$ .

b) $(x + 5)^{2} = 0$ équivaut à $x + 5 = 0$ , donc $x = -5$ .
L'équation n'a qu'UNE solution : $-5$ .
Contrairement à $x^{2} - 25 = 0$ qui en a deux, ici les deux facteurs sont identiques et donnent la même valeur.
2
On considère l'équation $4x^{2} - 25 = 0$ .
a) Factorise le membre de gauche.
b) Résous l'équation et vérifie les solutions.
Voir le corrigéoffert
a) $4x^{2} = (2x)^{2}$ et $25 = 5^{2}$ : c'est une différence de deux carrés.
$4x^{2} - 25 = (2x - 5)(2x + 5)$ .

b) Un produit est nul si l'un des facteurs l'est.
$2x - 5 = 0$ donne $x = 2{,}5$ ; $2x + 5 = 0$ donne $x = -2{,}5$ .
Vérifions : $4 \times 6{,}25 - 25 = 0$ ✓ dans les deux cas.
$S = \{-2{,}5 \,;\, 2{,}5\}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On considère l'équation $3x^{2} = 48$ .
a) Résous-la.
b) Résous ensuite $3x^{2} + 48 = 0$ et compare les deux situations.
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4
On considère l'équation $3x^{2} + 12x = 0$ .
a) Factorise et résous.
b) Résous ensuite $(x - 3)^{2} = 16$ .
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5
Un rectangle a une longueur de $x$ cm et une largeur de $x - 3$ cm. Son aire vaut 40 cm².
a) Écris l'équation traduisant cette situation, puis développe-la.
b) Vérifie que 8 est solution, et explique pourquoi la solution négative de cette équation ne convient pas au problème.
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6
On considère l'équation $x^{2} - 6x = 0$ .
a) Factorise le membre de gauche.
b) Résous l'équation, puis vérifie chaque solution.
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7
On pose $P = (3x - 1)(x + 4) - (3x - 1)(2x - 5)$ .
a) Factorise P.
b) Résous l'équation $P = 0$ .
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8
On considère l'équation $(x - 4)(x + 1) = 0$ .
a) Donne ses solutions.
b) Écris une équation-produit dont les solutions seraient $-3$ et $\frac{5}{2}$ .
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9
On considère l'équation $4x^{2} - 81 = 0$ .
a) Factorise le membre de gauche à l'aide d'une identité remarquable.
b) Résous l'équation, puis explique pourquoi l'équation $4x^{2} + 81 = 0$ n'a, elle, aucune solution.
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10
On considère l'équation $(x + 2)^{2} = 25$ .
a) Résous cette équation.
b) Résous de même $(2x - 1)^{2} = 49$ .
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