Équations-produits et équations x² = a

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1
On considère l'équation $x^{2} - 6x = 0$ .
a) Factorise le membre de gauche.
b) Résous l'équation, puis vérifie chaque solution.
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a) Les deux termes contiennent $x$ : c'est le facteur commun.
$x^{2} - 6x = x(x - 6)$ .

b) L'équation devient $x(x - 6) = 0$ .
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
$x = 0$ , ou $x - 6 = 0$ donc $x = 6$ .
Les solutions sont 0 et 6.
Vérification : $0^{2} - 6 \times 0 = 0$ ✓ et $6^{2} - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ ✓.
Attention : on ne divise jamais par $x$ , cela ferait perdre la solution 0.
2
On considère l'équation $(x + 2)^{2} = 25$ .
a) Résous cette équation.
b) Résous de même $(2x - 1)^{2} = 49$ .
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a) Si un carré vaut 25, le nombre élevé au carré vaut 5 ou $-5$ .
$x + 2 = 5$ donne $x = 3$ .
$x + 2 = -5$ donne $x = -7$ .
Les solutions sont 3 et $-7$ .

b) De même, $2x - 1 = 7$ ou $2x - 1 = -7$ .
$2x = 8$ donne $x = 4$ .
$2x = -6$ donne $x = -3$ .
Les solutions sont 4 et $-3$ .
3
On pose $P = (3x - 1)(x + 4) - (3x - 1)(2x - 5)$ .
a) Factorise P.
b) Résous l'équation $P = 0$ .
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4
On considère l'équation $4x^{2} - 81 = 0$ .
a) Factorise le membre de gauche à l'aide d'une identité remarquable.
b) Résous l'équation, puis explique pourquoi l'équation $4x^{2} + 81 = 0$ n'a, elle, aucune solution.
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5
Un rectangle a une longueur de $x$ cm et une largeur de $x - 3$ cm. Son aire vaut 40 cm².
a) Écris l'équation traduisant cette situation, puis développe-la.
b) Vérifie que 8 est solution, et explique pourquoi la solution négative de cette équation ne convient pas au problème.
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6
On considère l'équation $3x^{2} = 48$ .
a) Résous-la.
b) Résous ensuite $3x^{2} + 48 = 0$ et compare les deux situations.
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7
On pose $Q = x^{2} + 10x + 25$ .
a) Factorise Q.
b) Résous l'équation $Q = 0$ et dis combien elle a de solutions.
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8
On considère l'équation $(x - 4)(x + 1) = 0$ .
a) Donne ses solutions.
b) Écris une équation-produit dont les solutions seraient $-3$ et $\frac{5}{2}$ .
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9
On considère l'équation $4x^{2} - 25 = 0$ .
a) Factorise le membre de gauche.
b) Résous l'équation et vérifie les solutions.
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10
On considère l'équation $3x^{2} + 12x = 0$ .
a) Factorise et résous.
b) Résous ensuite $(x - 3)^{2} = 16$ .
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