Équations-produits et équations x² = a

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1
On considère l'équation : $x^{2} = 5x$ .
Explique pourquoi on n'a pas le droit de « simplifier par x » dès le départ.
Voir le corrigéoffert
a) On amène tout du même côté : $x^{2} - 5x = 0$ .
Les deux termes contiennent le facteur x, on le met en facteur : $x(x - 5) = 0$ .
b) Règle du produit nul : $x = 0$ ou $x - 5 = 0$ .
Donc $x = 0$ ou $x = 5$ . Il y a deux solutions.
c) Si on divisait dès le départ les deux côtés par x, on écrirait $x = 5$ et on perdrait la solution $x = 0$ .
Or on n'a pas le droit de diviser par x, car x peut valoir 0, et la division par zéro est interdite.
C'est pourquoi il faut passer par la factorisation.
Contrôle : $0^{2} = 5 \times 0 = 0$ ✓ et $5^{2} = 25 = 5 \times 5$ .
2
Un carré a une diagonale de 10 cm. On note x la longueur de son côté (en cm).
Donne une valeur approchée au centième.
Voir le corrigéoffert
a) La diagonale partage le carré en deux triangles rectangles dont les deux côtés de l'angle droit valent x, et l'hypoténuse est la diagonale (10 cm).
D'après le théorème de Pythagore : $x^{2} + x^{2} = 10^{2}$ , c'est-à-dire $2x^{2} = 100$ .
b) On isole $x^{2}$ : $x^{2} = \frac{100}{2} = 50$ .
Comme un côté est une longueur positive, on garde la solution positive : $x = \sqrt{50}$ .
On simplifie : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Le côté mesure exactement $5\sqrt{2}\,\text{cm}$ .
c) $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ , donc $5\sqrt{2} \approx 5 \times 1{,}414 = 7{,}07$ .
Le côté mesure environ 7,07 cm.
Contrôle : $2 \times 50 = 100 = 10^{2}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un disque a une aire de $45\pi\ \text{cm}^{2}$ . On note r son rayon, en cm.
Donne une valeur approchée au dixième.
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4
Un terrain a la forme d'un carré de côté x mètres. Si on augmente son côté de 3 m, on obtient un carré d'aire $64\,\text{m}^{2}$ .
Quelle est la solution du problème ? Justifie le rejet de l'autre.
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5
On considère l'équation : $(x - 3)(2x + 1) = (x - 3)(x + 5)$ .
Vérifie chaque solution.
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6
On considère l'équation : $(2x + 3)^{2} - (x - 1)^{2} = 0$ .
Résous l'équation.
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7
Pour chaque équation, dis combien elle a de solutions et donne-les.
a) $(x - 2)(x + 2) = 0$ .
b) $(x - 2)^{2} = 0$ .
c) $x^{2} + 1 = 0$ .
d) $x(x - 1)(x + 3) = 0$ .
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8
Résous les équations suivantes en te ramenant à un carré connu.
Résous ensuite $(x + 3)^{2} = 16$ .
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9
Sans calculatrice, dis combien de solutions possède chaque équation, puis donne-les.
a) $x^{2} = 36$ .
b) $x^{2} = 0$ .
c) $x^{2} = -5$ .
d) $x^{2} = 7$ (valeur exacte, puis valeur approchée au centième).
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10
On donne l'expression $E = (x + 5)^{2} - (x + 5)(2x - 1)$ .
Calcule E pour $x = 3$ , de deux façons différentes.
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