Géométrie dans l'espace

🟡 Moyen

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1
Un cône de révolution a une base de rayon 6 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, situé à mi-hauteur (à égale distance du sommet et de la base). Quelle est la nature de la section et son rayon ?
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Une coupe parallèle à la base d'un cône donne un disque, réduction de la base.
Le plan est à mi-hauteur : la distance du sommet au plan est la moitié de la hauteur totale, donc le facteur de réduction est $k = \frac{1}{2}$ .
Rayon de la section $= 6\times \frac{1}{2} = 3\,\text{cm}$ .
La section est donc un disque de rayon 3 cm.
2
Deux boules ont pour rayons 2 cm et 8 cm. La grande est un agrandissement de la petite. a. Quel est le facteur d'agrandissement k ? b. Par combien est multipliée l'aire ? c. Par combien est multiplié le volume ?
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a. Le facteur est le rapport des rayons : $k = 8 \div 2 = 4$ .
b. Les aires sont multipliées par $k^{2} = 4^{2} = 16$ .
c. Les volumes sont multipliés par $k^{3} = 4^{3} = 64$ .
Ainsi, en multipliant le rayon par 4, l'aire de la sphère est 16 fois plus grande et le volume de la boule 64 fois plus grand.
3
Une figure a une aire de $12\,\text{cm}^{2}$ . On l'agrandit avec un facteur $k = 3$ . Quelle est l'aire de la figure agrandie ?
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4
Un solide a un volume de $15\,\text{cm}^{3}$ . On l'agrandit avec un facteur $k = 2$ . Quel est le volume du solide agrandi ?
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5
Un cube a une arête de 5 cm. On l'agrandit avec un facteur $k = 3$ . a. Quelle est la nouvelle arête ? b. Quelle est la nouvelle aire totale ? c. Quel est le nouveau volume ?
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6
Une boule a pour rayon $r = 4\,\text{cm}$ . Calcule son aire de sphère et son volume (valeurs arrondies, avec $\pi \approx 3{,}14$ ).
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7
Le volume d'une boule vaut $288\pi \text{cm}^{3}$ . Détermine son rayon.
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8
Un objet a un volume de $400\,\text{cm}^{3}$ . On le réduit avec un facteur $k = \frac{1}{2}$ . Quel est son nouveau volume ?
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9
L'aire d'une sphère vaut $36\pi \text{cm}^{2}$ . Détermine son rayon, puis son diamètre.
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10
Un réservoir a la forme d'une boule de rayon 0,5 m. Calcule son volume en $m^{3}$ , puis convertis-le en litres (rappel : $1\,\text{m}^{3} = 1 000\,\text{L}$ , $\pi \approx 3{,}14$ ).
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11
Bonus — On assimile la Terre à une sphère de rayon 6 400 km. Deux villes A et B sont situées sur le même méridien : A est à la latitude $30^{\circ}$ Nord et B à la latitude $60^{\circ}$ Nord.
a. Quel est l'angle au centre de la Terre qui sépare A et B ?
b. Un méridien est un demi-grand cercle de la sphère. Calcule la longueur du trajet de A à B le long du méridien (π ≈ 3,14, arrondir au km).
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