Notion de fonction

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1
Soit la fonction f définie par $f(x) = x^{2}$ .
Combien d'antécédents le nombre 0 a-t-il ?
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a) $f(5) = 5^{2} = 25$ et $f(-5) = (-5)^{2} = 25$ . Les images de 5 et de $-5$ sont égales (toutes deux valent 25), car un nombre et son opposé ont le même carré.
b) On résout $x^{2} = 49$ . Les nombres dont le carré vaut 49 sont 7 et $-7$ (car $7^{2} = 49$ et $(-7)^{2} = 49$ ). Les antécédents de 49 sont donc 7 et $-7$ .
c) On cherche x tel que $x^{2} = -9$ . Or un carré est toujours positif ou nul : $x^{2} \ge 0$ . Il ne peut jamais être égal à $-9$ . Donc $-9$ n'a aucun antécédent par f.
d) On résout $x^{2} = 0$ . Le seul nombre dont le carré vaut 0 est 0 lui-même. Le nombre 0 a donc un seul antécédent : 0.
2
On connaît plusieurs points de la courbe d'une fonction h : elle passe par $(-3 \,;\, 2)$ , $(0 \,;\, -1)$ , $(2 \,;\, 3)$ et $(5 \,;\, 3)$ .
L'équation $h(x) = 3$ a-t-elle exactement deux solutions ? Explique.
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a) Un point $(a \,;\, b)$ de la courbe signifie $h(a) = b$ .
Le point $(0 \,;\, -1)$ donne $h(0) = -1$ .
Le point $(2 \,;\, 3)$ donne $h(2) = 3$ .
b) Le nombre 3 est la deuxième coordonnée (l'image) dans les points $(2 \,;\, 3)$ et $(5 \,;\, 3)$ . Les deux antécédents de 3 lisibles sont donc 2 et 5.
c) Résoudre $h(x) = 3$ revient à chercher tous les nombres dont l'image est 3, c'est-à-dire tous les points de la courbe de hauteur 3. On en connaît deux (x = 2 et $x = 5$ ), donc l'équation a AU MOINS deux solutions. Mais on ne connaît que quelques points : la courbe pourrait repasser à la hauteur 3 ailleurs. On ne peut donc pas affirmer qu'il y a EXACTEMENT deux solutions sans voir la courbe entière.
3
On sait qu'une fonction g vérifie : $g(-2) = 5$ , $g(0) = 5$ , $g(3) = -1$ et $g(6) = 8$ .
Un élève affirme : « 5 est l'image de $-2$ et aussi de 0, donc g n'est pas une fonction. » A-t-il raison ?
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4
Soit la fonction f définie par $f(x) = 2x^{2}$ .
Le nombre $-2$ a-t-il un antécédent par f ? Justifie.
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5
Un rectangle a une largeur de x cm et une longueur qui dépasse la largeur de 3 cm.
Pour quelle largeur x le périmètre vaut-il 26 cm ?
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6
On donne deux fonctions : $f(x) = 4x - 3$ et $g(x) = x + 6$ .
Existe-t-il un nombre qui a la même image par f et par g ? (résous $f(x) = g(x)$ )
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7
On considère le programme de calcul suivant : choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 8, puis diviser le tout par 2. On note f la fonction qui à un nombre x associe le résultat du programme.
Existe-t-il un nombre égal à son image par f ? (résous $f(x) = x$ )
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8
Un abonnement de vélos en libre-service coûte 15 € de frais fixes, plus 2 € par trajet. On note f(x) le prix total payé pour x trajets.
20 € est-il l'image d'un nombre entier de trajets ?
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9
Soit la fonction f définie par $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ .
Trouve tous les antécédents de 3 par f, puis explique pourquoi leur nombre ne contredit pas la définition d'une fonction.
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10
Soit la fonction f définie par $f(x) = 3x - 1$ .
Existe-t-il un nombre égal à son image par f ? (résous $f(x) = x$ )
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