Calcul littéral et identités remarquables
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On pose A = (2x + 3)² − (2x + 3)(x − 1).
a) Factoriser A en mettant en évidence un facteur commun.
b) Développer et réduire A pour retrouver sa forme développée.
c) Calculer A pour x = 5 avec la forme factorisée, puis vérifier avec la forme développée.✅ Voir le corrigéoffert
a) On remarque que (2x + 3) est un facteur commun aux deux termes : (2x + 3)² = (2x + 3)(2x + 3).
A = (2x + 3)[(2x + 3) − (x − 1)].
Dans le crochet, on enlève la parenthèse en changeant les signes : (2x + 3) − (x − 1) = 2x + 3 − x + 1 = x + 4.
Donc A = (2x + 3)(x + 4).
b) On développe : (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 et (2x + 3)(x − 1) = 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3.
A = (4x² + 12x + 9) − (2x² + x − 3) = 4x² + 12x + 9 − 2x² − x + 3.
On réduit : 4x² − 2x² = 2x² ; 12x − x = 11x ; 9 + 3 = 12.
Donc A = 2x² + 11x + 12.
c) Forme factorisée pour x = 5 : (2×5 + 3)(5 + 4) = 13 × 9 = 117.
Forme développée pour x = 5 : 2×25 + 11×5 + 12 = 50 + 55 + 12 = 117.
Les deux donnent 117 : la factorisation et le développement sont cohérents. - 2
On pose B = (x + 5)² − (x − 3)².
a) Développer et réduire B.
b) Retrouver le résultat en utilisant l'identité a² − b² = (a + b)(a − b), avec a = x + 5 et b = x − 3.
c) En déduire, sans calculatrice, la valeur de 205² − 195².✅ Voir le corrigéoffert
a) (x + 5)² = x² + 10x + 25 et (x − 3)² = x² − 6x + 9.
B = (x² + 10x + 25) − (x² − 6x + 9) = x² + 10x + 25 − x² + 6x − 9.
On réduit : x² − x² = 0 ; 10x + 6x = 16x ; 25 − 9 = 16.
Donc B = 16x + 16.
b) On voit B comme une différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b).
a + b = (x + 5) + (x − 3) = 2x + 2.
a − b = (x + 5) − (x − 3) = x + 5 − x + 3 = 8.
Donc B = (2x + 2) × 8 = 16x + 16. On retrouve bien le même résultat.
c) 205² − 195² est de la forme a² − b² = (a + b)(a − b) avec a = 205 et b = 195.
= (205 + 195)(205 − 195) = 400 × 10 = 4000.
Donc 205² − 195² = 4000. - 3
Un carré a un côté de longueur x cm (avec x > 4). On construit un rectangle en augmentant un côté de 4 cm et en diminuant le côté adjacent de 4 cm.
a) Exprimer l'aire du rectangle en fonction de x, sous forme développée.
b) Comparer l'aire du rectangle et celle du carré de départ.
c) Le rectangle peut-il avoir la même aire que le carré ? Justifier.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On pose C = (25x² − 20x + 4) − (5x − 2)(x + 3).
a) Montrer que 25x² − 20x + 4 = (5x − 2)².
b) En déduire une factorisation de C.
c) Vérifier le résultat en développant la forme factorisée obtenue.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On veut étudier le produit de deux nombres impairs consécutifs (par exemple 7 et 9).
a) Un nombre impair peut s'écrire 2n − 1. Écrire l'impair consécutif juste après.
b) Développer le produit de ces deux nombres, puis lui ajouter 1.
c) En déduire que « le produit de deux nombres impairs consécutifs, augmenté de 1, est toujours un carré parfait ». Vérifier avec 7 et 9.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On pose D = (3x − 1)² − 16.
a) Développer et réduire D.
b) Factoriser D en remarquant que 16 = 4².
c) Vérifier le résultat obtenu à la question b) pour x = 2.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On pose E = (x + 7)(x − 7) + (x + 7)².
a) Factoriser E en mettant (x + 7) en facteur commun.
b) En déduire la forme développée et réduite de E.
c) Calculer E pour x = 3 des deux façons et comparer.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On pose F = (x + 4)(x + 6) − (x + 5)² + 1.
a) Développer séparément (x + 4)(x + 6) et (x + 5)².
b) Réduire l'expression F.
c) Que peut-on en conclure sur la valeur de F selon x ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Soit n un nombre entier. On pose G = (n + 1)² − n².
a) Développer et réduire G.
b) Montrer que G est égal à la somme n + (n + 1).
c) En déduire la valeur de 100² − 99² sans poser les carrés, puis vérifier que c'est bien 100 + 99.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
On pose H = 2x² + 12x + 18.
a) Factoriser d'abord H par le facteur commun 2.
b) Reconnaître une identité remarquable dans la parenthèse et terminer la factorisation.
c) Vérifier le résultat final en développant.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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