Calcul littéral et identités remarquables

a) Chaque terme est divisible par 2 : $2x^{2} = 2 \times x^{2}$, $12x = 2 \times 6x$, $18 = 2 \times 9$.
On met 2 en facteur : $H = 2(x^{2} + 6x + 9)$.

b) Dans la parenthèse, $x^{2} + 6x + 9$ a trois termes : on teste $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.
$a^{2} = x^{2}$ donc $a = x$ ; $b^{2} = 9$ donc $b = 3$ ; double produit $2ab = 2 \times x \times 3 = 6x$, ce qui correspond au terme du milieu.
Donc $x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$.
D'où la factorisation complète : $H = 2(x + 3)^{2}$.

c) On développe : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$, puis $2(x^{2} + 6x + 9) = 2x^{2} + 12x + 18$.
On retrouve H, la factorisation est correcte.

a) Les dimensions du rectangle sont $(x + 4)$ et $(x - 4)$.
Aire du rectangle $= (x + 4)(x - 4)$.
C'est l'identité $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 4$.
$\text{Aire} = x^{2} - 16$ (en $\text{cm}^{2}$).

b) L'aire du carré de départ est $x \times x = x^{2}$.
Aire du rectangle $\mathord{}- \text{aire du carré} = (x^{2} - 16) - x^{2} = -16$.
L'aire du rectangle est donc toujours inférieure de $16\,\text{cm}^{2}$ à celle du carré.

c) Pour avoir la même aire, il faudrait $x^{2} - 16 = x^{2}$, c'est-à-dire $-16 = 0$, ce qui est impossible.
Donc le rectangle ne peut jamais avoir la même aire que le carré : il lui manque toujours $16\,\text{cm}^{2}$.