Le cosinus d’un angle aigu

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1
Le triangle RST est rectangle en S. On donne $RS = 6\,\text{cm}$ et l'angle $R = 32^{\circ}$ .
À l'aide du théorème de Pythagore, calcule ST, arrondi au dixième.
Observe bien la figure !
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a) L'angle droit est en S, donc [RT] est l'hypoténuse et RS est le côté adjacent à R. On a $\cos (R) = RS \div RT$ , donc $RT = RS \div \cos (R) = 6 \div \cos (32^{\circ})$ . Comme $\cos (32^{\circ}) \approx 0{,}8481$ , on obtient $RT \approx 6 \div 0{,}8481 \approx 7{,}075$ , soit $RT \approx 7{,}1\,\text{cm}$ .
b) Le triangle est rectangle en S, donc $RT^{2} = RS^{2} + ST^{2}$ (Pythagore). D'où $ST^{2} = RT^{2} - RS^{2}$ . Pour limiter les erreurs d'arrondi, on garde $RT \approx 7{,}075$ : $ST^{2} \approx 7{,}075^{2} - 6^{2} \approx 50{,}06 - 36 = 14{,}06$ . Donc $ST \approx \sqrt{14{,}06} \approx 3{,}75$ , soit $ST \approx 3{,}7\,\text{cm}$ .
c) Vérification : $\cos (R) = RS \div RT \approx 6 \div 7{,}075 \approx 0{,}848$ . On retrouve bien $\cos (32^{\circ}) \approx 0{,}848$ . ✓ La valeur de RT est cohérente.
2
Un losange ABCD a des côtés de 10 cm. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en O en formant un angle droit. L'angle entre le côté [AB] et la diagonale [AC] mesure $25^{\circ}$ .
Calcule OB par Pythagore, puis la longueur de la diagonale BD.
Observe bien la figure !
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a) Dans le triangle AOB rectangle en O, l'hypoténuse est $[AB] = 10\,\text{cm}$ (côté du losange), l'angle en A vaut $25^{\circ}$ et AO est le côté adjacent à cet angle. $\cos (25^{\circ}) = AO \div AB$ , donc $AO = AB \times \cos (25^{\circ}) = 10 \times 0{,}9063 \approx 9{,}063$ , soit $AO \approx 9{,}1\,\text{cm}$ .
b) Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu, donc O est le milieu de [AC] : $AC = 2 \times AO \approx 2 \times 9{,}063 \approx 18{,}1\,\text{cm}$ .
c) Dans le triangle AOB rectangle en O : $AB^{2} = AO^{2} + OB^{2}$ , donc $OB^{2} = AB^{2} - AO^{2} \approx 100 - 9{,}063^{2} \approx 100 - 82{,}14 = 17{,}86$ . D'où $OB \approx \sqrt{17{,}86} \approx 4{,}23\,\text{cm}$ . Comme O est aussi le milieu de [BD], $BD = 2 \times OB \approx 8{,}5\,\text{cm}$ .
3
Un triangle isocèle DEF vérifie $DE = DF = 8\,\text{cm}$ et $EF = 10\,\text{cm}$ . On appelle H le milieu de [EF] ; alors (DH) est perpendiculaire à (EF).
Calcule la hauteur DH par Pythagore, arrondie au dixième.
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4
Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que $\cos (B) = 0{,}28$ et que l'hypoténuse BC mesure 25 cm.
Calcule les mesures des angles B et C (arrondies au degré). Que remarques-tu sur leur somme ?
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5
Un triangle est rectangle en A, avec l'angle $B = 58^{\circ}$ et $AB = 7\,\text{cm}$ .
Calcule la mesure de l'angle MAB, puis la mesure de l'angle MAC.
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6
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu vaut exactement $\frac{2}{7}$ . L'hypoténuse mesure 21 cm.
Calcule la mesure de cet angle, arrondie au degré.
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7
Un bateau part du port P et navigue en ligne droite jusqu'à une bouée B, parcourant 3 km. Son déplacement vers l'est est de 2,4 km, et le triangle formé avec la direction est-ouest est rectangle.
Un second bateau parcourt aussi 3 km, mais avec un angle de $50^{\circ}$ par rapport à l'est-ouest. Son déplacement vers l'est est-il plus grand ou plus petit que 2,4 km ? Justifie par un calcul.
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8
Une antenne verticale [AH] est maintenue par un câble tendu du sommet A jusqu'à un piquet P planté au sol. Le câble mesure 12 m et fait un angle de $35^{\circ}$ avec l'antenne (mesuré au sommet A). H est le pied de l'antenne.
Pour un autre câble de même longueur 12 m, mais faisant un angle de $20^{\circ}$ avec l'antenne, calcule la nouvelle hauteur de fixation et dis si elle est plus grande ou plus petite.
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9
Un rectangle ABCD a pour longueur $AB = 12\,\text{cm}$ et pour largeur $BC = 5\,\text{cm}$ .
Calcule la mesure de l'angle DAC et vérifie que la somme des deux angles vaut $90^{\circ}$ .
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10
On veut mesurer la largeur d'une rivière. Depuis un point A d'une rive, on vise un arbre B situé juste en face sur l'autre rive, de sorte que [AB] est perpendiculaire aux rives. On marche de 40 m le long de la rive jusqu'à un point C. Depuis C, l'angle ACB (entre la rive et la visée vers l'arbre) mesure $63^{\circ}$ .
Calcule la largeur AB de la rivière à l'aide du théorème de Pythagore, arrondie au dixième.
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