Les nombres premiers

🟠 Difficile

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1
On considère le nombre 143.
a) Est-il premier ? Détaille les tests.
b) Écris-le comme produit de deux nombres premiers, puis donne tous ses diviseurs.
Voir le corrigéoffert
a) $11^{2} = 121 \le 143$ et $13^{2} = 169 > 143$ : on teste jusqu'à 11.
Par 2 : impair, non. Par 3 : $1 + 4 + 3 = 8$ , non.
Par 5 : ne finit pas par 0 ou 5, non. Par 7 : $143 \div 7 \approx 20{,}4$ , non.
Par 11 : $143 \div 11 = 13$ , la division tombe juste.
143 n'est donc pas premier.

b) $143 = 11 \times 13$ .
Ses diviseurs sont 1, 11, 13 et 143 : il en a exactement quatre.
2
On considère le nombre 221.
a) Est-il premier ? Détaille les tests.
b) Si non, écris-le comme produit de deux nombres premiers et donne tous ses diviseurs.
Voir le corrigéoffert
a) $14^{2} = 196 \le 221$ et $15^{2} = 225 > 221$ : on teste jusqu'à 13.
Par 2 : impair, non. Par 3 : $2 + 2 + 1 = 5$ , non.
Par 5 : ne finit pas par 0 ou 5, non.
Par 7 : $221 \div 7 \approx 31{,}6$ , non. Par 11 : $221 \div 11 \approx 20{,}1$ , non.
Par 13 : $221 \div 13 = 17$ , la division tombe juste, donc 221 n'est pas premier.

b) $221 = 13 \times 17$ , et 13 comme 17 sont premiers.
Ses diviseurs sont donc 1, 13, 17 et 221.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On dresse le crible d'Ératosthène de 1 à 60.
a) Les multiples de quels nombres faut-il barrer ? Justifie.
b) Donne la liste des premiers obtenus et compte-les.
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4
Vrai ou faux : « Si un nombre se termine par 7, alors il est premier. »
a) Donne trois exemples qui semblent confirmer l'affirmation.
b) Donne un contre-exemple et explique ce qu'il prouve.
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5
On considère les nombres voisins 89 et 91.
a) Lequel est premier ? Justifie les deux réponses.
b) Pour celui qui ne l'est pas, donne sa décomposition et le nombre de ses diviseurs.
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6
On s'intéresse aux nombres premiers compris entre 70 et 100.
a) Écris la liste complète, en expliquant comment tu élimines les autres.
b) Combien y en a-t-il, et quel est le plus grand écart entre deux d'entre eux ?
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7
Trouve deux nombres premiers dont la somme vaut 40.
a) Donne toutes les solutions possibles, en expliquant ta recherche.
b) Pourquoi aucun des deux ne peut-il valoir 2 ?
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8
Kala affirme : « 51 est premier parce qu'il est impair et qu'il ne finit pas par 5. »
a) A-t-elle raison ? Justifie par le calcul.
b) Explique précisément pourquoi son raisonnement est insuffisant.
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9
On considère le nombre 197.
a) Jusqu'où faut-il pousser les tests, et pourquoi ?
b) Le nombre 197 est-il premier ? Détaille chaque test.
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10
On veut savoir si 161 est premier.
a) Jusqu'à quel nombre premier faut-il pousser les tests ? Explique la méthode.
b) Effectue les tests un par un et conclus.
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