Les nombres premiers

🟠 Difficile

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1
On veut savoir si 161 est premier.
a) Jusqu'à quel nombre premier faut-il pousser les tests ? Explique la méthode.
b) Effectue les tests un par un et conclus.
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a) Si un nombre $n$ n'est pas premier, il a un diviseur inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .
Il suffit donc de tester les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas 161.
$11^{2} = 121 \le 161$ et $13^{2} = 169 > 161$ .
Il faut donc tester 2, 3, 5, 7 et 11.

b) Par 2 : 161 est impair, donc non.
Par 3 : $1 + 6 + 1 = 8$ , non divisible par 3, donc non.
Par 5 : il ne finit ni par 0 ni par 5, donc non.
Par 7 : $161 = 7 \times 23$ — la division tombe juste.
161 n'est donc pas premier.
2
On considère le nombre 197.
a) Jusqu'où faut-il pousser les tests, et pourquoi ?
b) Le nombre 197 est-il premier ? Détaille chaque test.
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a) On teste les premiers dont le carré ne dépasse pas 197.
$13^{2} = 169 \le 197$ et $17^{2} = 289 > 197$ .
Il faut donc tester 2, 3, 5, 7, 11 et 13.

b) Par 2 : 197 est impair, non.
Par 3 : $1 + 9 + 7 = 17$ , non divisible par 3, non.
Par 5 : il ne finit pas par 0 ou 5, non.
Par 7 : $197 \div 7 \approx 28{,}1$ , non.
Par 11 : $197 \div 11 \approx 17{,}9$ , non. Par 13 : $197 \div 13 \approx 15{,}2$ , non.
Aucun diviseur : 197 est premier.
3
On considère le nombre 221.
a) Est-il premier ? Détaille les tests.
b) Si non, écris-le comme produit de deux nombres premiers et donne tous ses diviseurs.
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4
On dresse le crible d'Ératosthène de 1 à 60.
a) Les multiples de quels nombres faut-il barrer ? Justifie.
b) Donne la liste des premiers obtenus et compte-les.
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5
Vrai ou faux : « Si un nombre se termine par 7, alors il est premier. »
a) Donne trois exemples qui semblent confirmer l'affirmation.
b) Donne un contre-exemple et explique ce qu'il prouve.
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6
Trouve deux nombres premiers dont la somme vaut 40.
a) Donne toutes les solutions possibles, en expliquant ta recherche.
b) Pourquoi aucun des deux ne peut-il valoir 2 ?
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7
On s'intéresse aux nombres premiers compris entre 70 et 100.
a) Écris la liste complète, en expliquant comment tu élimines les autres.
b) Combien y en a-t-il, et quel est le plus grand écart entre deux d'entre eux ?
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8
On considère le nombre 143.
a) Est-il premier ? Détaille les tests.
b) Écris-le comme produit de deux nombres premiers, puis donne tous ses diviseurs.
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9
Kala affirme : « 51 est premier parce qu'il est impair et qu'il ne finit pas par 5. »
a) A-t-elle raison ? Justifie par le calcul.
b) Explique précisément pourquoi son raisonnement est insuffisant.
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10
On considère les nombres voisins 89 et 91.
a) Lequel est premier ? Justifie les deux réponses.
b) Pour celui qui ne l'est pas, donne sa décomposition et le nombre de ses diviseurs.
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