Nombres premiers et décomposition
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On étudie le nombre 1 386.
a) Décompose 1 386 en produit de facteurs premiers.
b) Combien 1 386 possède-t-il de diviseurs ?
c) 1 386 est-il divisible par 21 ? par 45 ? Justifie à l'aide de la décomposition.✅ Voir le corrigéoffert
a) 1 386 = 2 × 693 ; 693 = 3 × 231 ; 231 = 3 × 77 ; 77 = 7 × 11.
Donc 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11.
Vérification : 2 × 9 × 7 × 11 = 18 × 77 = 1 386. ✓
b) Les exposants sont 1 (pour 2), 2 (pour 3), 1 (pour 7), 1 (pour 11).
Nombre de diviseurs = (1+1) × (2+1) × (1+1) × (1+1) = 2 × 3 × 2 × 2 = 24 diviseurs.
c) 21 = 3 × 7 : la décomposition contient un 3 et un 7, donc 1 386 est divisible par 21 (1 386 ÷ 21 = 66).
45 = 3² × 5 : la décomposition contient bien 3², mais aucun facteur 5. Il manque le 5, donc 1 386 n'est pas divisible par 45. - 2
a) Décompose 2 520 en produit de facteurs premiers.
b) Décompose 2 940.
c) Déduis-en la forme irréductible de la fraction .✅ Voir le corrigéoffert
a) 2 520 = 2 × 1 260 = 2 × 2 × 630 = 2 × 2 × 2 × 315 ; 315 = 3 × 105 = 3 × 3 × 35 ; 35 = 5 × 7.
Donc 2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7.
Vérification : 8 × 9 × 5 × 7 = 72 × 35 = 2 520. ✓
b) 2 940 = 2 × 1 470 = 2 × 2 × 735 ; 735 = 3 × 245 ; 245 = 5 × 49 = 5 × 7².
Donc 2 940 = 2² × 3 × 5 × 7².
Vérification : 4 × 3 × 5 × 49 = 60 × 49 = 2 940. ✓
c) Facteurs communs (plus petit exposant de chaque) : 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 105 = 420.
On simplifie par 420 : 2 520 ÷ 420 = 6 et 2 940 ÷ 420 = 7.
Donc = .
Vérification : 6 = 2 × 3 et 7 est premier, aucun facteur commun : la fraction est irréductible. ✓ - 3
Un rectangle a une aire de 240 cm² et ses deux côtés mesurent un nombre entier de centimètres.
a) Décompose 240 en produit de facteurs premiers.
b) Combien de couples (longueur ; largeur) sont possibles, avec longueur ≥ largeur ?
c) Parmi eux, quelles dimensions donnent le rectangle le plus proche d'un carré ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On étudie les nombres 231 et 165.
a) Décompose chacun en produit de facteurs premiers.
b) Trouve le plus grand nombre entier qui divise à la fois 231 et 165.
c) Utilise ce nombre pour écrire sous forme irréductible.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On pose N = 2 × 3² × 5.
a) Calcule N.
b) Combien N possède-t-il de diviseurs ? Dresse la liste.
c) Calcule la somme de tous les diviseurs de N.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On veut savoir si 2 021 est premier.
a) Jusqu'à quel nombre premier faut-il tester les divisions ? Explique.
b) Trouve la décomposition de 2 021 en produit de facteurs premiers.
c) Donne alors la liste de tous les diviseurs de 2 021.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Un nombre entier se décompose ainsi : N = 2² × 3 × 5² × 7.
a) Calcule N.
b) N est-il divisible par 60 ? par 350 ? par 90 ? Justifie avec les décompositions.
c) Quel est le plus petit entier par lequel il faut multiplier N pour obtenir un carré parfait ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On étudie le nombre 1 001.
a) Décompose 1 001 en produit de facteurs premiers.
b) Écris 1 001 comme un produit de trois nombres premiers.
c) 1 001 est-il divisible par 77 ? par 39 ? Justifie.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
a) Explique pourquoi, pour tester si un nombre est premier, il suffit d'essayer les diviseurs premiers jusqu'à sa racine carrée.
b) Le nombre 289 est-il premier ?
c) Le nombre 293 est-il premier ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
a) Combien y a-t-il de nombres premiers strictement compris entre 30 et 50 ? Liste-les.
b) Décompose 2 310 en produit de facteurs premiers. Que remarques-tu ?
c) Combien 2 310 possède-t-il de diviseurs ? Est-il divisible par 15 ? par 14 ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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