Les nombres premiers

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1
On veut savoir si 2 021 est premier.
Donne alors la liste de tous les diviseurs de 2 021.
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a) Si $2 021 = a \times b$ avec $a \le b$ , alors $a \times a \le 2 021$ , donc a est au plus 44 (car $45^{2} = 2 025 > 2 021$ ). Il suffit donc de tester les nombres premiers jusqu'à 43.
b) On teste : 2 021 est impair ; $2 + 0 + 2 + 1 = 5$ (pas divisible par 3) ; ne finit pas par 0 ou 5 ; ni 7, ni 11, ni 13, ni 17, ni 19, ni 23, ni 29, ni 31, ni 37, ni 41 ne le divisent.
On essaie 43 : $43 \times 47 = 2 021$ .
Donc $2 021 = 43 \times 47$ (43 et 47 sont tous deux premiers).
Je vérifie : $43 \times 47 = 1 720 + 301 = 2 021$ . ✓ Donc 2 021 n'est pas premier.
c) Ses diviseurs sont : 1, 43, 47 et 2 021 (quatre diviseurs).
2
Sur son cahier, un élève a écrit : « 187, 191, 193 et 195 sont tous des nombres premiers. »
Réécris la phrase de l'élève en la corrigeant.
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a) Pour ces quatre nombres il suffit de tester les premiers jusqu'à 13, car $13 \times 13 = 169$ et $14 \times 14 = 196$ dépasse chacun d'eux.
187 : impair ; $1 + 8 + 7 = 16$ ; pas 0 ni 5 ; $7 \times 26 = 182$ (reste 5) ; $11 \times 17 = 187$ : trouvé ! Donc $187 = 11 \times 17$ , pas premier.
191 : impair ; $1 + 9 + 1 = 11$ ; pas 0 ni 5 ; $7 \times 27 = 189$ (reste 2) ; $11 \times 17 = 187$ (reste 4) ; $13 \times 14 = 182$ (reste 9). Premier.
193 : impair ; $1 + 9 + 3 = 13$ ; pas 0 ni 5 ; $7 \times 27 = 189$ (reste 4) ; $11 \times 17 = 187$ (reste 6) ; $13 \times 14 = 182$ (reste 11). Premier.
195 : se termine par 5, donc $195 = 5 \times 39$ . Pas premier.
b) Phrase corrigée : « 191 et 193 sont premiers ; $187 = 11 \times 17$ et $195 = 5 \times 39$ ne le sont pas. »
Remarque : 191 et 193 se suivent à 2 près, on dit qu'ils sont premiers jumeaux.
3
a) Explique pourquoi, pour tester si un nombre est premier, il suffit d'essayer les diviseurs premiers jusqu'à sa racine carrée.
b) Le nombre 289 est-il premier ?
c) Le nombre 293 est-il premier ?
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4
On s'intéresse au chiffre des unités d'un nombre premier plus grand que 10.
Donne, pour chacun de ces chiffres, un exemple de nombre premier à deux chiffres. La réciproque est-elle vraie ?
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5
On construit le crible d'Ératosthène de 1 à 100.
Combien y en a-t-il entre 1 et 50 ? entre 50 et 100 ? Que remarques-tu ?
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6
On appelle « premiers jumeaux » deux nombres premiers qui se suivent à 2 près, comme 11 et 13.
Explique pourquoi, à part 3, 5 et 7, on ne peut pas trouver trois nombres impairs consécutifs a, $a + 2$ et $a + 4$ tous premiers.
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7
Un professeur affirme : « Pour savoir si un nombre inférieur à 300 est premier, il suffit de le tester par 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17. »
Le nombre 251 est-il premier ? Justifie en testant les diviseurs utiles.
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8
On veut savoir si 401 est premier.
Effectue les tests et dis si 401 est premier.
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9
Une salle de spectacle possède 83 places. Le régisseur veut les disposer en rangées ayant toutes le même nombre de places, avec au moins 2 rangées et au moins 2 places par rangée.
Reprends la question avec une salle de 87 places : donne toutes les dispositions possibles.
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10
On multiplie des nombres premiers puis on ajoute 1.
On donne $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30\,031$ et $59 \times 509 = 30\,031$ . Le produit des premiers nombres premiers, augmenté de 1, est-il toujours premier ? Justifie.
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