Probabilités : deux épreuves

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1
On lance une pièce équilibrée deux fois de suite.
a) Liste toutes les issues possibles.
b) Calcule la probabilité d'obtenir exactement un « pile », puis celle d'obtenir au moins un « pile ».
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a) Chaque lancer donne P ou F, et il y a deux lancers.
Les issues sont : PP, PF, FP, FF.
Il y a donc $2 \times 2 = 4$ issues, toutes équiprobables.

b) « Exactement un pile » correspond à PF et FP : 2 issues.
$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
« Au moins un pile » correspond à PP, PF et FP : 3 issues.
$P = \frac{3}{4}$ .
On peut aussi passer par l'événement contraire, « aucun pile », qui est FF.
$1 - P(\text{FF}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ✓.
Attention à ne pas confondre « exactement un » et « au moins un » : les réponses diffèrent.
2
Un sac contient 4 boules rouges et 3 noires. On tire une boule, on la REMET, puis on en tire une seconde.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes ?
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a) Comme on remet la boule, le sac est identique au second tirage : 7 boules à chaque fois.
$P(\text{rouge}) = \frac{4}{7}$ pour chaque tirage.
$P(\text{deux rouges}) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$ .

b) $P(\text{deux noires}) = \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{49}$ .
Les couleurs sont différentes dans tous les autres cas :
$\frac{49}{49} - \frac{16}{49} - \frac{9}{49} = \frac{24}{49}$ .
C'est le cas le plus fréquent des trois, devant « deux rouges » ( $\frac{16}{49}$ ).
On peut aussi le retrouver directement : rouge puis noire, ou noire puis rouge,
soit $\frac{4}{7} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{12 + 12}{49} = \frac{24}{49}$ ✓.
3
Un sac contient 4 boules rouges et 3 noires. On tire une boule, on ne la REMET PAS, puis on en tire une seconde.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?
b) Compare avec le tirage avec remise et explique la différence.
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4
On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert, et on additionne les résultats.
a) Combien y a-t-il d'issues possibles ? Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de 7 ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de 12 ? Et une somme de 2 ?
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5
On lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces, numérotées de 1 à 4.
a) Combien y a-t-il d'issues possibles ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois le même nombre, puis celle d'obtenir deux nombres différents ?
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6
Un cinéma reçoit 150 spectateurs un soir : 50 adultes et 25 enfants ont vu le film A ; 40 adultes et 35 enfants ont vu le film B. On interroge un spectateur au hasard.
a) Vérifie le total, puis calcule la probabilité que ce soit un enfant ayant vu le film A.
b) Quelle est la probabilité que ce spectateur ait vu le film A ? Et que ce soit un adulte ?
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7
Dans un atelier, 70 % des pièces viennent de la machine A et le reste de la machine B. Parmi les pièces de A, 4 % sont défectueuses.
a) Quelle proportion de pièces vient de la machine B ?
b) Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard vienne de A ET soit défectueuse ?
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8
On lance 250 fois un dé et on obtient 48 fois le nombre « 6 ».
a) Calcule la fréquence d'apparition du « 6 ».
b) Compare-la à la probabilité théorique $\frac{1}{6}$ . Peut-on dire que le dé est truqué ?
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9
Une urne contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On en tire un, on le remet, puis on en tire un second, et on additionne les deux numéros.
a) Combien y a-t-il d'issues possibles ?
b) Quelle est la probabilité que la somme vaille 6 ?
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10
Un sac contient 6 boules bleues et 4 jaunes. On tire deux boules successivement, SANS remise.
a) Quelle est la probabilité de tirer deux bleues ?
b) Quelle est la probabilité de tirer d'abord une bleue puis une jaune ?
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