Probabilités : deux épreuves

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1
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 rouges et 6 bleues. On tire une boule, on la REMET, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?
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« Au moins une rouge » se réalise par trois chemins (RR, RB, BR). Il est plus efficace de passer par l'événement contraire.
Étape 1 : l'événement contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge », c'est-à-dire « deux bleues ».
Étape 2 : le tirage est AVEC remise, donc l'urne est identique aux deux tirages : 6 bleues sur 10, soit $P(\text{bleue}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ à chaque fois.
$P(\text{deux bleues}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0{,}36$ .
Étape 3 : on applique $P(\text{contraire}) = 1 - P$ :
$P(\text{au moins une rouge}) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$ , soit $\frac{16}{25}$ .
Vérification par les chemins : $P(RR) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$ ; $P(RB) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$ ; $P(BR) = \frac{6}{25}$ . Somme : $\frac{4}{25} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{16}{25} = 0{,}64$ .
2
Un sac contient 7 boules identiques au toucher : 4 blanches et 3 noires. On tire deux boules l'une après l'autre.
Le tirage sans remise donne-t-il une probabilité plus grande ou plus petite qu'avec remise ? Explique.
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a) AVEC remise : le sac est identique aux deux tirages, avec 4 blanches sur 7 boules.
$P(\text{deux blanches}) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49} \approx 0{,}327$ .
b) SANS remise : le premier tirage donne $\frac{4}{7}$ .
Pour le second, la boule blanche sortie n'est pas remise : le total passe de 7 à 6 boules (une boule a quitté le sac), et le nombre de blanches passe de 4 à 3 (la boule sortie était blanche). Le second facteur est donc $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
$P(\text{deux blanches}) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \approx 0{,}286$ (on simplifie par 6).
c) Pour comparer $\frac{16}{49}$ et $\frac{2}{7}$ , on met au même dénominateur 49 : $\frac{2}{7} = \frac{14}{49}$ (on multiplie par 7 en haut et en bas).
On compare $\frac{16}{49}$ et $\frac{14}{49}$ : comme $16 > 14$ , la probabilité est plus grande AVEC remise.
Explication : sans remise, la première boule blanche a été retirée du sac, il en reste donc moins pour le second tirage. La deuxième réussite devient plus difficile, et la probabilité du chemin diminue.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On soupçonne un dé à six faces d'être truqué. On le lance 500 fois et le « 1 » apparaît 145 fois.
On estime la probabilité d'obtenir un « 1 » avec ce dé par la fréquence observée. Sur 2000 lancers, combien de « 1 » peut-on prévoir environ ?
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4
Avec un tableur, on simule 1000 fois l'expérience « lancer deux pièces équilibrées » et on obtient 254 fois le résultat « deux piles ».
Si on relançait la simulation avec 4000 répétitions, à combien de « deux piles » peut-on s'attendre, et pourquoi le compte réel sera-t-il rarement exact ?
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5
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 rouges et 6 bleues. On tire deux boules l'une après l'autre, SANS remise.
Calcule la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Je suis les branches !
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6
Un sac contient 2 boules rouges et un certain nombre de boules vertes, toutes identiques au toucher. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. On constate que la probabilité d'obtenir deux boules rouges est $\frac{1}{9}$ .
Avec ce sac, quelle serait la probabilité d'obtenir deux boules rouges si le tirage se faisait SANS remise ?
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7
Un sac contient 5 jetons identiques numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. On tire deux jetons l'un après l'autre, SANS remise, et on additionne les deux numéros.
a) À l'aide d'un arbre, calcule la probabilité que la somme obtenue soit paire.
b) Retrouve ce résultat en dénombrant les couples de jetons possibles.
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8
Un magasin reçoit ses ampoules de deux fournisseurs : 70 % viennent du fournisseur A et le reste du fournisseur B. On sait que 4 % des ampoules de A sont défectueuses, et 10 % de celles de B le sont. On prend une ampoule au hasard dans le stock.
Le magasin reçoit 5000 ampoules. Combien d'ampoules défectueuses peut-il prévoir ?
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9
On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert, et on note la somme des deux nombres obtenus. On peut représenter la situation par un tableau à double entrée de 6 lignes et 6 colonnes contenant les sommes.
Un joueur affirme : « La somme 2 et la somme 7 ont la même chance de sortir, puisqu'il n'y a qu'une somme à chaque fois. » Explique son erreur.
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10
Une enquête est menée auprès de 200 personnes. On sait que 110 d'entre elles sont des femmes, que 130 personnes déclarent faire du sport, et que parmi ces sportifs on compte 75 femmes.
Y a-t-il proportionnellement plus de sportifs chez les femmes ou chez les hommes ?
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