Probabilités : deux épreuves
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On soupçonne un dé à six faces d'être truqué. On le lance 500 fois et le « 1 » apparaît 145 fois.
a) Calcule la fréquence d'apparition du « 1 ».
b) Si le dé était équilibré, quelle fréquence attendrait-on environ pour le « 1 » ?
c) Ces résultats confortent-ils le soupçon de tricherie ?
d) On estime la probabilité d'obtenir un « 1 » avec ce dé par la fréquence observée. Sur 2000 lancers, combien de « 1 » peut-on prévoir environ ?✅ Voir le corrigéoffert
a) La fréquence est le nombre de « 1 » divisé par le nombre de lancers : = 145 ÷ 500 = 0,29.
b) Pour un dé équilibré, chaque face a la probabilité = 0,1666… soit environ 0,167.
c) On compare : 0,29 est nettement plus grand que 0,167. Le « 1 » sort beaucoup plus souvent que ce qu'on attendrait d'un dé équilibré. D'après la loi des grands nombres, sur un grand nombre de lancers la fréquence devrait se rapprocher de la probabilité ; ici l'écart est important. Oui, ces résultats renforcent le soupçon que le dé est truqué en faveur du « 1 ».
d) On estime la probabilité d'obtenir un « 1 » avec ce dé par la fréquence observée, soit environ 0,29.
Sur 2000 lancers, on prévoit environ 2000 × 0,29 = 580 fois le « 1 ». - 2
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 rouges et 6 bleues. On tire deux boules l'une après l'autre, SANS remise.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules bleues ?
c) En déduire la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.✅ Voir le corrigéoffert
a) Chemin « rouge puis rouge ».
Premier tirage : 4 rouges sur 10 boules, donc .
Second tirage : la boule rouge sortie n'est pas remise, donc il reste 9 boules dont 3 rouges. Le dénominateur passe de 10 à 9 (une boule a quitté l'urne) et le numérateur de 4 à 3 (la boule sortie était rouge) : .
P(RR) = × = = ≈ 0,133.
b) Chemin « bleue puis bleue ».
Premier tirage : 6 bleues sur 10, donc .
Second tirage : il reste 9 boules dont 5 bleues, donc .
P(BB) = × = = ≈ 0,333.
c) « Deux boules de la même couleur » se réalise par deux chemins distincts : RR ou BB. Comme c'est un « OU », on ADDITIONNE :
P = + = = ≈ 0,467 (on simplifie par 6).
Interprétation : on obtient deux boules de la même couleur un peu moins d'une fois sur deux ; les deux couleurs différentes sont donc légèrement plus probables. - 3
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 rouges et 6 bleues. On tire une boule, on la REMET, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?
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Un magasin reçoit ses ampoules de deux fournisseurs : 70 % viennent du fournisseur A et le reste du fournisseur B. On sait que 4 % des ampoules de A sont défectueuses, et 10 % de celles de B le sont. On prend une ampoule au hasard dans le stock.
a) Complète l'arbre : quelles probabilités portent les branches manquantes ?
b) Quelle est la probabilité que l'ampoule soit défectueuse ?
c) Le magasin reçoit 5000 ampoules. Combien d'ampoules défectueuses peut-il prévoir ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert, et on note la somme des deux nombres obtenus. On peut représenter la situation par un tableau à double entrée de 6 lignes et 6 colonnes contenant les sommes.
a) Combien y a-t-il d'issues ? Quelle est la plus petite somme possible, et la plus grande ?
b) Quelle est la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à 10 ?
c) Quelle est la probabilité que la somme soit paire ?
d) Un joueur affirme : « La somme 2 et la somme 7 ont la même chance de sortir, puisqu'il n'y a qu'une somme à chaque fois. » Explique son erreur.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Un sac contient 7 boules identiques au toucher : 4 blanches et 3 noires. On tire deux boules l'une après l'autre.
a) Calcule la probabilité d'obtenir deux boules blanches si le tirage se fait AVEC remise.
b) Calcule cette même probabilité si le tirage se fait SANS remise.
c) Compare les deux résultats et explique la différence.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Une enquête est menée auprès de 200 personnes. On sait que 110 d'entre elles sont des femmes, que 130 personnes déclarent faire du sport, et que parmi ces sportifs on compte 75 femmes.
a) Reconstitue le tableau à double entrée (lignes « femme » et « homme », colonnes « fait du sport » et « ne fait pas de sport »).
b) On interroge une personne au hasard : probabilité que ce soit un homme qui fait du sport ?
c) Probabilité que la personne ne fasse pas de sport ?
d) Y a-t-il proportionnellement plus de sportifs chez les femmes ou chez les hommes ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Un sac contient 2 boules rouges et un certain nombre de boules vertes, toutes identiques au toucher. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. On constate que la probabilité d'obtenir deux boules rouges est .
a) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge en un seul tirage ?
b) Combien y a-t-il de boules vertes dans le sac ?
c) Avec ce sac, quelle serait la probabilité d'obtenir deux boules rouges si le tirage se faisait SANS remise ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Un sac contient 5 jetons identiques numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. On tire deux jetons l'un après l'autre, SANS remise, et on additionne les deux numéros.
a) Quelle est la probabilité que la somme obtenue soit paire ?
b) Retrouve ce résultat en dénombrant les couples de jetons possibles.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Avec un tableur, on simule 1000 fois l'expérience « lancer deux pièces équilibrées » et on obtient 254 fois le résultat « deux piles ».
a) Calcule la fréquence de l'événement « deux piles » dans cette simulation.
b) Calcule la probabilité théorique d'obtenir deux piles.
c) Compare les deux valeurs et commente.
d) Si on relançait la simulation avec 4000 répétitions, à combien de « deux piles » peut-on s'attendre ? Obtiendra-t-on exactement ce nombre ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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