Probabilités : deux épreuves

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1
On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un « pile » ?
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Étape 1 : on liste les issues de l'arbre. Les 4 chemins sont PP, PF, FP et FF, et ils sont équiprobables : chacun a la probabilité $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
Étape 2 : on repère les chemins favorables. « Exactement un pile » signifie un seul pile et donc une seule face : cela correspond à PF (pile puis face) et à FP (face puis pile), soit 2 chemins.
Étape 3 : plusieurs chemins conviennent (c'est un « OU »), donc on ADDITIONNE leurs probabilités :
$P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
Attention à ne pas oublier le chemin FP : « exactement un pile » ne veut pas dire seulement « pile en premier ».
2
On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un « pile » ?
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« Au moins un pile » signifie « un pile ou deux piles ». Trois chemins conviennent : PP, PF et FP. Plutôt que d'additionner trois probabilités, on passe par l'événement contraire, ce qui est plus rapide.
Étape 1 : l'événement contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire « face aux deux lancers », soit le seul chemin FF.
Étape 2 : on calcule la probabilité de ce chemin en multipliant :
$P(FF) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
Étape 3 : on utilise $P(\text{contraire}) = 1 - P$ :
$P(\text{au moins un pile}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75$ .
Vérification par comptage : les chemins favorables sont PP, PF et FP, soit 3 chemins sur 4, et $\frac{3}{4} = 0{,}75$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules noires, identiques au toucher. On tire une boule, on la REMET dans le sac, puis on tire une seconde boule. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
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4
On lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces, numérotées de 1 à 4.
a) Combien y a-t-il d'issues possibles ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois le même nombre ?
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5
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules noires, identiques au toucher. On tire une boule, on ne la REMET PAS, puis on tire une seconde boule. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
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6
On lance 200 fois un dé et on obtient 34 fois le nombre « 6 ».
a) Calcule la fréquence d'apparition du « 6 » sous forme décimale.
b) La probabilité théorique d'obtenir un « 6 » avec un dé équilibré est $\frac{1}{6}$ . La fréquence obtenue en est-elle proche ?
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7
Un sac contient 6 jetons identiques : 4 verts et 2 rouges. On tire deux jetons l'un après l'autre, SANS remettre le premier dans le sac. Quelle est la probabilité d'obtenir deux jetons verts ?
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8
Dans un atelier, 60 % des pièces sont fabriquées par la machine A et le reste par la machine B. Parmi les pièces de la machine A, 5 % sont défectueuses. On prend une pièce au hasard.
a) Quelle proportion de pièces vient de la machine B ?
b) Quelle est la probabilité que la pièce vienne de la machine A ET soit défectueuse ?
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9
On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert, et on additionne les deux nombres obtenus. On dresse un tableau à double entrée : en lignes les 6 résultats du dé rouge, en colonnes les 6 résultats du dé vert, et dans chaque case la somme.
a) Combien le tableau contient-il de cases ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 12 ?
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10
Un cinéma projette deux films, A et B. Un soir, 120 spectateurs sont présents : 45 adultes et 20 enfants ont vu le film A ; 25 adultes et 30 enfants ont vu le film B. On interroge un spectateur au hasard.
a) Vérifie le total, puis calcule la probabilité que ce soit un enfant ayant vu le film A.
b) Quelle est la probabilité que ce spectateur ait vu le film A ?
c) Quelle est la probabilité que ce soit un adulte ?
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