Puissances et notation scientifique

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1
On considère les nombres suivants : $a = (-2)^{6}$ , $b = -2^{6}$ et $c = (-2)^{5}$ .
Donne le signe de c en le justifiant, puis calcule sa valeur.
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a) Les parenthèses indiquent que c'est le nombre $(-2)$ tout entier qui est élevé à la puissance 6 : il y a 6 facteurs égaux à $(-2)$ . Comme l'exposant 6 est pair, le résultat est positif : $(-2)^{6} = 2^{6} = 64$ . Donc $a = 64$ .
b) Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 2 : $b = -2^{6} = -(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) = -64$ . Le signe moins est appliqué après le calcul de la puissance. C'est pourquoi $b = -64$ est différent de $a = 64$ .
c) Pour $c = (-2)^{5}$ , la base $(-2)$ est négative et l'exposant 5 est impair : une puissance d'exposant impair d'un nombre négatif est négative, donc c est négatif. Sa valeur : $(-2)^{5} = -(2^{5}) = -32$ .
2
On considère les trois nombres : $A = 2^{10}$ , $B = 10^{3}$ et $C = 4^{5}$ .
Range A, B et C dans l'ordre croissant.
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a) $2^{10} = 2 \times 2 \times \dots \times 2$ (dix facteurs). En doublant pas à pas : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024. Donc $A = 1 024$ .
b) On remarque que $4 = 2^{2}$ . Donc $C = 4^{5} = (2^{2})^{5} = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$ (puissance de puissance : on multiplie les exposants). Ainsi $C = 2^{10} = A = 1 024$ .
c) $B = 10^{3} = 1 000$ , tandis que $A = C = 1 024$ . Comme $1 000 < 1 024$ , l'ordre croissant est : $B < A = C$ .
3
On s'intéresse à des puissances de 10 à exposant négatif.
Écris $D = 10^{-5} \times 10^{8} \times 10^{-1}$ sous forme d'une seule puissance de 10, puis en écriture décimale.
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4
On pose $A = \frac{10^{5} \times 10^{-2}}{10^{4}}$ et $B = (10^{-3})^{2} \times 10^{7}$ .
Calcule $A \times B$ et donne le résultat en écriture décimale.
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5
Un disque dur peut stocker $2 \times 10^{12}$ octets. Un fichier photo pèse environ $5 \times 10^{6}$ octets.
Si chaque photo pesait deux fois plus, combien pourrait-on en stocker ?
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6
La masse d'un atome de carbone est d'environ $2 \times 10^{-23}$ grammes. Un petit morceau de mine de crayon contient environ $5 \times 10^{21}$ atomes de carbone.
Donne cette masse en écriture décimale, puis un ordre de grandeur.
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7
On donne $x = 3{,}2 \times 10^{5}$ et $y = 8 \times 10^{4}$ .
Écris $x + y$ en notation scientifique.
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8
Lors d'un concert, on estime qu'il y a 48 000 spectateurs. Chaque spectateur a dépensé en moyenne 39 € pour son billet.
a) Donne un ordre de grandeur du nombre de spectateurs sous la forme $a \times 10^{n}$ .
b) Donne un ordre de grandeur du prix d'un billet.
c) À l'aide de ces ordres de grandeur, estime rapidement la recette totale du concert, puis exprime-la en notation scientifique.
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9
Une culture contient au départ une seule bactérie. Le nombre de bactéries double chaque heure.
Au bout de combien d'heures dépasse-t-on pour la première fois 1 000 bactéries ? Justifie.
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10
La lumière se déplace à environ 300 000 kilomètres par seconde.
La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est d'environ $1{,}5 \times 10^{8}$ km. Combien de minutes la lumière met-elle pour la parcourir ? Donne une valeur approchée.
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