Pyramides et cônes

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1
On considère un cube d'arête 12 cm. On construit une pyramide dont la base est une face du cube et dont le sommet est le centre de la face opposée.
Quelle fraction du volume du cube représente cette pyramide ?
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a) La base est une face du cube et le sommet se trouve sur la face opposée. La distance entre deux faces opposées d'un cube est égale à l'arête, soit 12 cm. La hauteur de la pyramide (segment reliant le sommet au plan de la base, perpendiculairement) est donc 12 cm.
b) Aire de la base (carré de côté 12) : $12 \times 12 = 144\,\text{cm}^{2}$ . Volume : $(144 \times 12) \div 3 = 1728 \div 3 = 576\,\text{cm}^{3}$ .
c) Volume du cube : $12 \times 12 \times 12 = 1728\,\text{cm}^{3}$ . Fraction : $576 \div 1728 = \frac{1}{3}$ .
La pyramide représente le tiers du cube, ce qui colle avec la formule : même base et même hauteur qu'un pavé, donc un tiers du volume.
2
Une pyramide à base carrée a un côté de base de 4 cm et une hauteur de 6 cm.
Par combien le volume a-t-il été multiplié ? Explique le lien avec le nombre 3.
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a) Aire de la base : $4 \times 4 = 16\,\text{cm}^{2}$ . Volume : $(16 \times 6) \div 3 = 96 \div 3 = 32\,\text{cm}^{3}$ .
b) On multiplie toutes les longueurs par 3 : le côté devient $4 \times 3 = 12\,\text{cm}$ et la hauteur $6 \times 3 = 18\,\text{cm}$ . Aire de la base : $12 \times 12 = 144\,\text{cm}^{2}$ . Volume : $(144 \times 18) \div 3 = 2592 \div 3 = 864\,\text{cm}^{3}$ .
c) $864 \div 32 = 27$ : le volume a été multiplié par 27.
Explication : un volume dépend de trois longueurs (deux pour la base, une pour la hauteur). Quand chaque longueur est multipliée par 3, le volume est multiplié par $3 \times 3 \times 3 = 3^{3} = 27$ .
3
Une pyramide à base carrée a une hauteur de 15 cm et un volume de $450\,\text{cm}^{3}$ .
Donne une valeur approchée du côté au dixième de cm en testant quelques valeurs.
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4
Un cône de révolution a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm.
Par combien le volume a-t-il été multiplié ? Explique pourquoi ce n'est pas simplement par 2.
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5
Un sablier est formé de deux cônes de révolution identiques reliés par la pointe. Chaque cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 5 cm. Au départ, tout le sable est dans le cône du haut, qui est plein.
a) Calcule le volume exact d'un cône (en fonction de π) ; c'est le volume de sable.
b) Le sable s'écoule vers le bas à raison de $2\pi \text{cm}^{3}$ par minute. Combien de temps le sablier met-il à se vider entièrement ?
c) Donne ce temps en minutes et secondes.
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6
Un cône de révolution a une hauteur de 12 cm et un volume de $100\pi \text{cm}^{3}$ .
Calcule alors le diamètre de la base.
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7
Une pyramide à base carrée a un volume de $300\,\text{cm}^{3}$ et une hauteur de 9 cm.
Une seconde pyramide a la même base mais une hauteur deux fois plus grande. Sans tout recalculer, donne son volume et explique ton raisonnement.
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8
Un bloc de bois est un pavé droit à base carrée : la base est un carré de côté 10 cm et la hauteur est 14 cm. On creuse dans ce bloc un cône de révolution dont la base (un disque de rayon 5 cm) est posée sur le dessus du bloc et dont la pointe descend à une profondeur de 12 cm.
Calcule le volume de bois restant ; donne une valeur approchée au $\text{cm}^{3} (\pi \approx 3{,}14)$ .
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9
Deux récipients ont la même contenance.
— Le premier est une pyramide à base carrée de côté 8 cm et de hauteur h.
— Le second est un cône de révolution de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm.
Sachant que les deux récipients ont le même volume, écris l'égalité vérifiée par h, puis calcule h (π ≈ 3,14, arrondi au dixième).
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10
Un réservoir a la forme d'un cône de révolution posé pointe en bas. Son rayon de base est 6 dm et sa hauteur 10 dm.
On le remplit avec un robinet qui débite 5 litres par minute. Combien de temps faut-il, à la minute près, pour le remplir ?
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