Pyramides et cônes

Un réservoir a la forme d'un cône de révolution posé pointe en bas. Son rayon de base est 6 dm et sa hauteur 10 dm.
a) Calcule le volume exact du réservoir en fonction de π, puis une valeur approchée en dm³ (π ≈ 3,14).
b) Sachant que 1 dm³ = 1 litre, quelle est sa contenance approchée en litres ?
c) On le remplit avec un robinet qui débite 5 litres par minute. Combien de temps faut-il, à la minute près, pour le remplir ?

Une pyramide à base carrée a un volume de 300 cm³ et une hauteur de 9 cm.
a) Calcule l'aire de sa base.
b) En déduire la longueur du côté de la base.
c) Une seconde pyramide a la même base mais une hauteur deux fois plus grande. Sans tout recalculer, donne son volume et explique ton raisonnement.

Un cône de révolution a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm.
a) Calcule son volume exact en fonction de π.
b) On construit un second cône de même hauteur mais dont le rayon est doublé (6 cm). Calcule son volume exact.
c) Par combien le volume a-t-il été multiplié ? Explique pourquoi ce n'est pas simplement par 2.

On considère un cube d'arête 12 cm. On construit une pyramide dont la base est une face du cube et dont le sommet est le centre de la face opposée.
a) Quelle est la hauteur de cette pyramide ? Justifie.
b) Calcule le volume de la pyramide.
c) Quelle fraction du volume du cube représente cette pyramide ?

Une pyramide à base carrée a une hauteur de 15 cm et un volume de 450 cm³.
a) Calcule l'aire de sa base.
b) Montre, à l'aide d'un encadrement, que le côté de la base n'est pas un nombre entier de centimètres.
c) Donne une valeur approchée du côté au dixième de cm en testant quelques valeurs.

Deux récipients ont la même contenance.
— Le premier est une pyramide à base carrée de côté 8 cm et de hauteur h.
— Le second est un cône de révolution de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm.
a) Calcule le volume du cône (valeur exacte en fonction de π).
b) Sachant que les deux récipients ont le même volume, écris l'égalité vérifiée par h, puis calcule h (π ≈ 3,14, arrondi au dixième).

Un bloc de bois est un pavé droit à base carrée : la base est un carré de côté 10 cm et la hauteur est 14 cm. On creuse dans ce bloc un cône de révolution dont la base (un disque de rayon 5 cm) est posée sur le dessus du bloc et dont la pointe descend à une profondeur de 12 cm.
a) Calcule le volume du pavé.
b) Calcule le volume exact du cône creusé (en fonction de π).
c) Calcule le volume de bois restant ; donne une valeur approchée au cm³ (π ≈ 3,14).

Une pyramide à base carrée a un côté de base de 4 cm et une hauteur de 6 cm.
a) Calcule son volume.
b) On agrandit la pyramide en multipliant toutes ses longueurs par 3. Calcule le volume de la nouvelle pyramide.
c) Par combien le volume a-t-il été multiplié ? Explique le lien avec le nombre 3.

Un cône de révolution a une hauteur de 12 cm et un volume de 100π cm³.
a) Écris l'égalité vérifiée par le rayon r de la base (en gardant π).
b) Calcule r² puis en déduire r.
c) Calcule alors le diamètre de la base.

Un sablier est formé de deux cônes de révolution identiques reliés par la pointe. Chaque cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 5 cm. Au départ, tout le sable est dans le cône du haut, qui est plein.
a) Calcule le volume exact d'un cône (en fonction de π) ; c'est le volume de sable.
b) Le sable s'écoule vers le bas à raison de 2π cm³ par minute. Combien de temps le sablier met-il à se vider entièrement ?
c) Donne ce temps en minutes et secondes.