Le théorème de Pythagore

ABCD est un trapèze rectangle en A et en D : les côtés [AB] et [DC] sont parallèles, et [AD] leur est perpendiculaire. On donne AB = 5 cm, DC = 11 cm et AD = 8 cm.
a) On appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de B sur [DC]. Explique pourquoi BH = 8 cm et HC = 6 cm.
b) Calcule la longueur du côté [BC].
c) Calcule le périmètre du trapèze.
d) Calcule l'aire du trapèze.

On considère un pavé droit (une boîte) de dimensions 12 cm, 9 cm et 8 cm. On veut connaître la plus grande longueur d'une tige que l'on peut ranger à l'intérieur : c'est la grande diagonale de la boîte, qui joint deux sommets opposés.
a) Calcule d'abord la diagonale [AC] du rectangle de base, de côtés 12 cm et 9 cm.
b) La grande diagonale [AG] est l'hypoténuse d'un triangle ACG rectangle en C, où CG = 8 cm est la hauteur de la boîte. Calcule AG.
c) Une tige rigide de 18 cm entre-t-elle dans la boîte ?

Dans un repère orthonormé (une unité = 1 cm), on place les points A(−1 ; 1), B(2 ; 5) et C(6 ; 2).
a) Calcule les longueurs AB, BC et CA, en utilisant pour chaque segment le triangle rectangle formé par les déplacements horizontal et vertical.
b) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifie.
c) Calcule l'aire du triangle ABC.

Une échelle de 2,5 m est appuyée contre un mur vertical.
a) Au départ, son pied est à 0,7 m du mur. Calcule la hauteur atteinte par le haut de l'échelle.
b) Le pied glisse et s'éloigne jusqu'à 2 m du mur. Calcule la nouvelle hauteur atteinte.
c) De combien le haut de l'échelle a-t-il descendu entre les deux positions ?

Un cercle a pour centre O et pour rayon 13 cm. Une corde [AB] est située à 5 cm du centre : le pied H de la perpendiculaire menée de O à [AB] vérifie OH = 5 cm, et H est le milieu de [AB].
a) Explique pourquoi le triangle OHA est rectangle en H, et pourquoi OA = 13 cm.
b) Calcule HA, puis la longueur de la corde [AB].
c) Une autre corde du même cercle est située à 12 cm du centre. Calcule sa longueur. Que remarques-tu en comparant à [AB] ?

Un terrain a la forme d'un triangle isocèle ABC avec AB = AC = 20 m et BC = 24 m.
a) Calcule la hauteur [AH] issue de A (H est le milieu de [BC]).
b) Calcule l'aire du terrain.
c) On veut entourer le terrain d'une clôture coûtant 15 € le mètre. Calcule le coût total.

Deux poteaux verticaux sont plantés sur un sol horizontal, à 12 m l'un de l'autre. Le premier mesure 4 m de haut, le second 9 m.
a) Un câble tendu relie les deux sommets. Calcule sa longueur.
b) Un second câble relie le sommet du grand poteau au pied du petit poteau. Calcule sa longueur.
c) Les deux câbles ont-ils la même longueur ?

Un artisan fabrique un portail rectangulaire de 1,2 m de large et 0,9 m de haut.
a) Quelle devrait être la longueur exacte de la diagonale si les angles sont bien droits ?
b) Il mesure une diagonale et trouve 1,5 m. Qu'en conclut-il sur ce coin ?
c) Il mesure ensuite l'autre diagonale et trouve 1,55 m. Le portail est-il vraiment rectangulaire ? (Indice : dans un rectangle, les deux diagonales ont la même longueur.)

Sur une figure, ABC est rectangle en B avec AB = 8 cm et BC = 6 cm. Le point D est tel que ACD est rectangle en C avec CD = 24 cm.
a) Calcule AC.
b) Calcule AD.
c) Calcule l'aire totale de la figure formée par les deux triangles ABC et ACD.

Un quadrilatère ABCD a pour dimensions AB = 9 cm, BC = 12 cm, CD = 20 cm et AD = 25 cm. On trace la diagonale [AC], et on mesure AC = 15 cm.
a) Montre que le triangle ABC est rectangle et précise en quel sommet.
b) Montre que le triangle ACD est rectangle et précise en quel sommet.
c) Déduis-en l'aire du quadrilatère ABCD.