Le théorème de Pythagore

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1
Une échelle de 2,5 m est appuyée contre un mur vertical.
De combien le haut de l'échelle a-t-il descendu entre les deux positions ?
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L'échelle (2,5 m) est l'hypoténuse ; le mur et le sol forment l'angle droit.
a) $h_{1}^{2} = 2{,}5^{2} - 0{,}7^{2} = 6{,}25 - 0{,}49 = 5{,}76$ , donc $h_{1} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\,\text{m}$ .
b) $h_{2}^{2} = 2{,}5^{2} - 2^{2} = 6{,}25 - 4 = 2{,}25$ , donc $h_{2} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\,\text{m}$ .
c) Le haut est descendu de $h_{1} - h_{2} = 2{,}4 - 1{,}5 = 0{,}9\,\text{m}$ .
Vérification de a) : $0{,}7^{2} + 2{,}4^{2} = 0{,}49 + 5{,}76 = 6{,}25 = 2{,}5^{2}$ : correct.
2
Deux poteaux verticaux sont plantés sur un sol horizontal, à 12 m l'un de l'autre. Le premier mesure 4 m de haut, le second 9 m.
Les deux câbles ont-ils la même longueur ?
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a) Depuis le sommet du petit poteau, on trace une horizontale vers le grand poteau. On obtient un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont : la distance horizontale 12 m et la différence de hauteur $9 - 4 = 5\,\text{m}$ . Le câble est l'hypoténuse.
câble₁ $^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$ , donc câble₁ $= \sqrt{169} = 13\,\text{m}$ .
b) Le sommet du grand poteau est à 9 m de haut, le pied du petit à 0 m ; la distance horizontale est 12 m. Triangle rectangle de côtés 12 m et 9 m.
câble₂ $^{2} = 12^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225$ , donc câble₂ $= \sqrt{225} = 15\,\text{m}$ .
c) $13\,\text{m} \ne 15\,\text{m}$ : les deux câbles n'ont pas la même longueur ; le second est plus long de 2 m.
3
Un artisan fabrique un portail rectangulaire de 1,2 m de large et 0,9 m de haut.
Il mesure ensuite l'autre diagonale et trouve 1,55 m. Le portail est-il vraiment rectangulaire ? (Indice : dans un rectangle, les deux diagonales ont la même longueur.)
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4
Un terrain a la forme d'un triangle isocèle ABC avec $AB = AC = 20\,\text{m}$ et $BC = 24\,\text{m}$ .
On veut entourer le terrain d'une clôture coûtant 15 € le mètre. Calcule le coût total.
Je repère les côtés et les angles !
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5
Un cercle a pour centre O et pour rayon 13 cm. Une corde [AB] est située à 5 cm du centre : le pied H de la perpendiculaire menée de O à [AB] vérifie $OH = 5\,\text{cm}$ , et H est le milieu de [AB].
Une autre corde du même cercle est située à 12 cm du centre. Calcule sa longueur. Que remarques-tu en comparant à [AB] ?
Observe bien la figure !
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6
Sur une figure, ABC est rectangle en B avec $AB = 8\,\text{cm}$ et $BC = 6\,\text{cm}$ . Le point D est tel que ACD est rectangle en C avec $CD = 24\,\text{cm}$ .
Calcule l'aire totale de la figure formée par les deux triangles ABC et ACD.
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7
On considère un pavé droit (une boîte) de dimensions 12 cm, 9 cm et 8 cm. On veut connaître la plus grande longueur d'une tige que l'on peut ranger à l'intérieur : c'est la grande diagonale de la boîte, qui joint deux sommets opposés.
Une tige rigide de 18 cm entre-t-elle dans la boîte ?
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8
ABCD est un trapèze rectangle en A et en D : les côtés [AB] et [DC] sont parallèles, et [AD] leur est perpendiculaire. On donne $AB = 5\,\text{cm}$ , $DC = 11\,\text{cm}$ et $AD = 8\,\text{cm}$ .
Calcule l'aire du trapèze.
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9
Dans un repère orthonormé (une unité $= 1\,\text{cm}$ ), on place les points $A(-1 \,;\, 1)$ , $B(2 \,;\, 5)$ et $C(6 \,;\, 2)$ .
Calcule l'aire du triangle ABC.
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10
Un quadrilatère ABCD a pour dimensions $AB = 9\,\text{cm}$ , $BC = 12\,\text{cm}$ , $CD = 20\,\text{cm}$ et $AD = 25\,\text{cm}$ . On trace la diagonale [AC], et on mesure $AC = 15\,\text{cm}$ .
Calcule l'aire du quadrilatère ABCD.
Observe bien la figure !
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