Le théorème de Pythagore

🟠 Difficile

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1
Une échelle de 7,5 m est appuyée contre un mur vertical, son pied posé à 2,1 m du mur.
a) À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Arrondis au dixième.
b) Si l'on écarte le pied jusqu'à 3 m du mur, gagne-t-on ou perd-on de la hauteur ?
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a) Le triangle est rectangle, l'échelle est l'hypoténuse.
$h^{2} = 7{,}5^{2} - 2{,}1^{2} = 56{,}25 - 4{,}41 = 51{,}84$ .
$h = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2$ m exactement.

b) $h^{2} = 56{,}25 - 9 = 47{,}25$ , donc $h \approx 6{,}9$ m.
On perd de la hauteur : plus le pied s'éloigne, moins l'échelle monte haut.
2
Un rectangle mesure 15 cm de long et 8 cm de large.
a) Calcule la longueur de sa diagonale.
b) Calcule son périmètre et son aire.
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a) La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 15 et 8.
$d^{2} = 15^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289$ .
$d = \sqrt{289} = 17$ cm.

b) Périmètre $= 2 \times (15 + 8) = 46$ cm.
Aire $= 15 \times 8 = 120\,\text{cm}^{2}$ .
3
Un triangle a pour côtés 9 cm, 12 cm et 15 cm.
a) Ce triangle est-il rectangle ? Justifie.
b) Si oui, calcule son aire.
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4
Un bateau part d'un port, navigue 18 km vers l'est, puis 24 km vers le nord.
a) À quelle distance du port se trouve-t-il à vol d'oiseau ?
b) Combien de kilomètres a-t-il économisés par rapport au trajet réellement parcouru ?
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5
Un triangle isocèle ABC a pour base $BC = 16\,\text{cm}$ et pour côtés égaux $AB = AC = 17\,\text{cm}$ .
a) Calcule la hauteur issue de A.
b) Calcule l'aire du triangle.
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6
ABC est rectangle en A, avec $AB = 6\,\text{cm}$ et $AC = 9\,\text{cm}$ .
a) Calcule BC, arrondi au dixième de centimètre.
b) Calcule le périmètre du triangle, arrondi au dixième.
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7
Un mât vertical de 12 m est maintenu par un câble tendu du sommet jusqu'à un piquet planté à 9 m du pied du mât.
a) Quelle est la longueur du câble ?
b) Si l'on plante le piquet à 5 m du mât, quelle longueur de câble faut-il ? Arrondis au dixième.
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8
Un menuisier mesure deux côtés voisins d'un cadre : 45 cm et 60 cm, puis la diagonale qui les relie : 75 cm.
a) L'angle entre ces deux côtés est-il droit ? Justifie.
b) S'il mesurait 76 cm au lieu de 75 cm, que faudrait-il en conclure ?
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9
Un écran rectangulaire mesure 48 cm de large et 27 cm de haut.
a) Calcule la longueur de sa diagonale, arrondie au dixième.
b) Les écrans se vendent en pouces (1 pouce $= 2{,}54$ cm). Quelle est la taille de cet écran en pouces, arrondie à l'unité ?
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10
Une boîte a la forme d'un pavé droit : sa base est un rectangle de 12 cm sur 5 cm, et sa hauteur est de 8 cm.
a) Calcule la diagonale du rectangle de base.
b) Une tige rigide de 14 cm tient-elle à plat dans la boîte, posée sur le fond ?
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