Droites du triangle : les médiatrices

🟠 Difficile

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1
Dans un triangle ABC, on trace les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ ; elles se coupent en O.
a) Pourquoi a-t-on $OA = OB$ , puis $OB = OC$ ?
b) Qu'en déduis-tu pour la médiatrice de $[AC]$ ?
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a) O est sur la médiatrice de $[AB]$ , donc $OA = OB$ .
O est aussi sur la médiatrice de $[BC]$ , donc $OB = OC$ .

b) En enchaînant : $OA = OB = OC$ , donc $OA = OC$ .
O est donc aussi sur la médiatrice de $[AC]$ : les trois médiatrices passent par le même point.
2
Une droite $(d)$ est la médiatrice d'un segment $[EF]$ , et elle coupe $[EF]$ en un point I. On sait que $EF = 10\,\text{cm}$ .
a) Combien mesure EI ?
b) Quelle est la mesure de l'angle entre $(d)$ et $[EF]$ ?
Voir le corrigéoffert
a) La médiatrice passe par le milieu du segment : I est le milieu de $[EF]$ .
Donc $EI = 10 \div 2 = 5\,\text{cm}$ (et $IF = 5\,\text{cm}$ aussi).

b) La médiatrice est perpendiculaire au segment : l'angle mesure $90^{\circ}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Pour tracer la médiatrice de $[AB]$ , Léa pique son compas en A puis en B en gardant le même écartement, et obtient deux points K et L.
a) Pourquoi K est-il sur la médiatrice de $[AB]$ ?
b) Pourquoi la droite $(KL)$ est-elle la médiatrice de $[AB]$ ?
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4
On trace un segment $[AB]$ de 6 cm. Kala cherche un point M tel que $MA = MB = 4\,\text{cm}$ .
a) Explique la construction au compas.
b) Combien de points M conviennent ?
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5
Les points A et B sont symétriques l'un de l'autre par rapport à une droite $(d)$ .
a) Que représente $(d)$ pour le segment $[AB]$ ? Justifie.
b) Un point M de $(d)$ vérifie $MA = 6{,}2\,\text{cm}$ . Combien mesure MB ?
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6
On donne un segment $[AB]$ tel que $AB = 9\,\text{cm}$ .
a) Peut-on placer un point M tel que $MA = MB = 4\,\text{cm}$ ? Justifie.
b) Quelle est la plus petite valeur possible pour $MA$ quand $MA = MB$ ?
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7
ABC est un triangle isocèle en A avec $AB = AC = 7\,\text{cm}$ et $BC = 6\,\text{cm}$ . On note I le milieu de $[BC]$ .
a) Pourquoi le point A est-il sur la médiatrice de $[BC]$ ?
b) Que peut-on en déduire pour la droite $(AI)$ ?
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8
Deux villages A et B sont distants de 8 km. On veut construire une école à égale distance des deux villages.
a) Sur quelle ligne l'école doit-elle se trouver ? Justifie.
b) Si l'école est finalement à 5 km de A, à quelle distance est-elle de B ?
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9
O est le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC. Ce cercle a pour rayon 5 cm.
a) Donne les longueurs OA, OB et OC.
b) Explique pourquoi O appartient à la médiatrice de $[AC]$ .
Un point remarquable !
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10
Un triangle ABC est rectangle en A, avec $AB = 6\,\text{cm}$ , $AC = 8\,\text{cm}$ et $BC = 10\,\text{cm}$ . On construit son cercle circonscrit, de centre O.
a) On observe que O est le milieu de $[BC]$ . Quel est alors le rayon du cercle ?
b) Vérifie que ce rayon convient aussi pour le sommet A, sachant que $OA$ mesure 5 cm.
Observe bien la figure !
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