Droites remarquables du triangle

On place trois maisons A, B et C qui ne sont pas alignées. On veut installer une antenne à égale distance des trois maisons.
a) Explique pourquoi l'antenne doit être placée sur la médiatrice de [AB].
b) Explique pourquoi elle doit aussi être sur la médiatrice de [BC].
c) Déduis-en une méthode précise pour trouver l'unique emplacement de l'antenne, et dis à quelle distance elle sera de C si elle est à 30 m de A.

ABC est un triangle avec AB = AC = 6 cm et BC = 4 cm (isocèle en A). Soit I le milieu de [BC].
a) Montre que A est sur la médiatrice de [BC].
b) Que peux-tu dire de la droite (AI) par rapport à [BC] ? Justifie.
c) Quelle est la mesure de BI, et quelle est la nature de l'angle AIB ?

On donne un segment [AB] tel que AB = 8 cm et son milieu I. Sur la médiatrice de [AB], on place deux points distincts M et N, avec MA = 5 cm et NA = 6,5 cm.
a) Que valent MB et NB ? Justifie.
b) Quelle est la nature des triangles MAB et NAB ?
c) Explique pourquoi la médiatrice de [AB] est un axe de symétrie de la figure : que devient le point A par la symétrie d'axe cette médiatrice ?

Dans un triangle ABC, on veut construire le cercle circonscrit avec seulement un compas et une règle non graduée.
a) Explique la construction complète, étape par étape.
b) Pourquoi suffit-il de tracer seulement deux médiatrices pour trouver le centre O ?
c) Une fois O placé, comment choisis-tu le rayon du cercle ? Justifie que le cercle passe bien par les trois sommets.

On considère deux points A et B. Marc affirme : « Le point C tel que CA = CB est forcément le milieu de [AB]. »
a) Explique pourquoi cette affirmation est fausse.
b) Donne un exemple précis d'un point C avec CA = CB qui n'est pas le milieu de [AB], en prenant AB = 6 cm.
c) Décris alors correctement l'ensemble de tous les points C tels que CA = CB.

ABC est un triangle. On note H le point de concours des trois hauteurs (l'orthocentre).
a) Rappelle ce qu'est la hauteur issue de A, puis celle issue de B.
b) Trace un triangle ABC ayant un angle obtus (par exemple l'angle en A). Où se situe alors l'orthocentre H : à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ?
c) Trace ensuite un triangle rectangle en A. Où se trouve précisément l'orthocentre dans ce cas ? Justifie.

On donne un segment [AB] avec AB = 10 cm et son milieu I. Sur la médiatrice de [AB], on place un point P avec IP = 3 cm, puis un point Q avec IQ = 8 cm (P et Q du même côté).
a) Compare, sans calcul, les longueurs PA et QA : laquelle est la plus grande ? Justifie par une observation.
b) On mesure PA = 5,83 cm. Que vaut PB ? Pourquoi ?
c) Parmi tous les points de la médiatrice, quel est celui qui est le plus proche de A ? Quelle est alors cette distance minimale ?

Un jardinier veut planter un arbre à égale distance de deux murs qui se rejoignent en formant un angle, et aussi à égale distance de deux arbres déjà plantés A et B.
a) Pour être à égale distance des deux arbres A et B, sur quelle ligne doit-il se placer ? Justifie.
b) Pour être à égale distance des deux murs (les deux côtés de l'angle), quelle ligne doit-il suivre ? (indice : pense à une droite remarquable liée aux angles.)
c) Comment trouve-t-il alors l'emplacement exact de l'arbre ?

Dans un triangle ABC, on trace la médiatrice de [AB] et la médiatrice de [AC]. Elles se coupent en O.
a) Justifie l'égalité OA = OB.
b) Justifie l'égalité OA = OC.
c) Déduis-en que O est aussi sur la médiatrice de [BC], sans la tracer.

Sur une feuille, on a placé deux points B et C avec BC = 6 cm. On cherche à placer un sommet A pour que le triangle ABC soit isocèle en A (AB = AC), puis on veut tracer son cercle circonscrit de centre O.
a) Sur quelle droite doit obligatoirement se trouver le point A ? Justifie.
b) Sur quelle droite doit obligatoirement se trouver le centre O du cercle circonscrit ? Justifie.
c) Que remarques-tu à propos des positions de A et de O ? Explique le lien avec la médiatrice de [BC].