Droites du triangle : les médiatrices

Dans un triangle ABC, on trace la médiatrice de [AB] et la médiatrice de [AC]. Elles se coupent en O.
Montre que O est aussi sur la médiatrice de [BC], sans la tracer.

On considère deux points A et B. Marc affirme : « Le point C tel que $CA = CB$ est forcément le milieu de [AB]. »
Décris alors correctement l'ensemble de tous les points C tels que $CA = CB$.

Dans un triangle ABC, on veut construire le cercle circonscrit avec seulement un compas et une règle non graduée.
Une fois O placé, comment choisis-tu le rayon du cercle ? Justifie que le cercle passe bien par les trois sommets.

Trois villages A, B et C sont construits le long d'une même route rectiligne : ils sont donc alignés, dans cet ordre. Un ingénieur veut placer un château d'eau à égale distance des trois villages.
Le projet de l'ingénieur est-il réalisable ? Que faudrait-il changer ?

ABC est un triangle avec $AB = AC = 6\,\text{cm}$ et $BC = 4\,\text{cm}$ (isocèle en A). Soit I le milieu de [BC].
Quelle est la mesure de BI, et quelle est la nature de l'angle AIB ?

Sur une feuille, on a placé deux points B et C avec $BC = 6\,\text{cm}$. On cherche à placer un sommet A pour que le triangle ABC soit isocèle en $A (AB = AC)$, puis on veut tracer son cercle circonscrit de centre O.
Que remarques-tu à propos des positions de A et de O ? Explique le lien avec la médiatrice de [BC].

On donne un segment [AB] tel que $AB = 8\,\text{cm}$ et son milieu I. Sur la médiatrice de [AB], on place deux points distincts M et N, avec $MA = 5\,\text{cm}$ et $NA = 6{,}5\,\text{cm}$.
Explique pourquoi la médiatrice de [AB] est un axe de symétrie de la figure : que devient le point A par la symétrie d'axe cette médiatrice ?

On donne un segment [AB] avec $AB = 8\,\text{cm}$ et son milieu I. On cherche tous les points M du plan qui vérifient à la fois $MA = MB$ et $MA = 5\,\text{cm}$.
Que se passerait-il si on demandait $MA = MB$ et $MA = 3\,\text{cm}$ ? Justifie.

On place trois maisons A, B et C qui ne sont pas alignées. On veut installer une antenne à égale distance des trois maisons.
Donne une méthode précise pour trouver l'unique emplacement de l'antenne, et dis à quelle distance elle sera de C si elle est à 30 m de A.

On donne un segment [AB] avec $AB = 10\,\text{cm}$ et son milieu I. Sur la médiatrice de [AB], on place un point P avec $IP = 3\,\text{cm}$, puis un point Q avec $IQ = 8\,\text{cm}$ (P et Q du même côté).
Parmi tous les points de la médiatrice, quel est le plus proche de A ? Quelle est alors la distance minimale ?