Droites du triangle : les médiatrices

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1
ABC est un triangle isocèle en A (donc $AB = AC$ ). Montre que le sommet A est situé sur la médiatrice de [BC].
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La médiatrice de [BC] est l'ensemble des points à égale distance de B et de C.
Or le triangle est isocèle en A, ce qui signifie $AB = AC$ .
Le point A est donc à égale distance de B et de C.
D'après la propriété d'équidistance, tout point vérifiant $AB = AC$ est sur la médiatrice de [BC].
Conclusion : A appartient à la médiatrice de [BC].
2
Les points A et B sont symétriques l'un de l'autre par rapport à une droite (d). Que représente la droite (d) pour le segment [AB] ? Justifie.
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Par la symétrie d'axe (d), le point A se transforme en B. La droite (d) joue donc le rôle de la « pliure » qui envoie A exactement sur B.
Or, dans une symétrie axiale, l'axe est perpendiculaire au segment qui joint un point à son symétrique, et il passe par le milieu de ce segment.
La droite (d) est donc perpendiculaire à [AB] et passe par le milieu de [AB] : c'est exactement la définition de la médiatrice.
Conclusion : (d) est la médiatrice du segment [AB].
Interprétation : cela explique aussi pourquoi tout point M de (d) vérifie $MA = MB$ — en pliant le long de (d), la longueur MA vient se poser sur MB.
3
Sur une droite (d), on cherche le point situé à égale distance des deux villes A et B. Explique quelle droite permet de le trouver et pourquoi.
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4
On considère les points A et B avec $AB = 5\,\text{cm}$ . Un point M vérifie $MA = MB$ . Décris précisément l'ensemble de toutes les positions possibles du point M.
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5
O est le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC. Ce cercle a pour rayon 4,5 cm. Donne les longueurs OA, OB et OC, puis explique pourquoi O est sur la médiatrice de [AB].
Observe bien la figure !
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6
Pour construire la médiatrice de [AB], Léa trace deux points K et L en gardant le même écartement de compas depuis A et depuis B. Explique pourquoi la droite (KL) est bien la médiatrice de [AB].
À égale distance !
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7
On donne un segment [AB] avec $AB = 7\,\text{cm}$ . Peux-tu placer un point M tel que $MA = MB = 2\,\text{cm}$ ? Explique ta réponse.
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8
Trace un triangle ABC rectangle en A, avec $AB = 3\,\text{cm}$ et $AC = 4\,\text{cm}$ (on a alors $BC = 5\,\text{cm}$ ). Construis les médiatrices de [AB] et de [AC] et place leur point d'intersection O.
Où se trouve exactement le point O ? Justifie ta réponse par un calcul de longueurs.
Un point remarquable !
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9
On trace un segment [AB] de 7 cm. On cherche à placer un point M tel que $MA = MB = 5\,\text{cm}$ .
Explique la construction au compas, puis dis combien de points M conviennent.
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10
Trace un triangle ABC tel que $AB = 6\,\text{cm}$ , $BC = 5\,\text{cm}$ et $AC = 4\,\text{cm}$ . Construis les médiatrices des trois côtés, puis le cercle circonscrit. Explique comment tu trouves son centre.
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