Droites du triangle : hauteurs, médianes et bissectrices

Dans un triangle ABC, la médiane issue de A coupe $[BC]$ en I. On sait que $BC = 11\,\text{cm}$.
a) Combien mesure BI ? Justifie.
b) Comment s'appelle le point où se coupent les trois médianes ?

Dans un triangle ABC, on trace la hauteur issue de A et la hauteur issue de B ; elles se coupent en H.
a) Comment s'appelle le point H ?
b) Si le triangle est rectangle en A, où se trouve H ? Justifie.

Pour aller plus loin : dans un triangle ABC, on trace les trois bissectrices ; elles se coupent en I. Le cercle inscrit de centre I a pour rayon 2,4 cm.
a) Quelle est la distance de I à chacun des trois côtés ?
b) Pourquoi cette distance est-elle la même pour les trois côtés ?

Un jardinier veut planter un arbre à égale distance de deux allées qui se croisent en formant un angle de sommet A.
a) Sur quelle ligne doit-il se placer ? Justifie.
b) S'il veut de plus être à 3 m de l'allée de gauche, à quelle distance sera-t-il de l'allée de droite ?

Pour aller plus loin : ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm.
a) Pourquoi la hauteur issue de A, la médiane issue de A et la bissectrice de l'angle A sont-elles la même droite ?
b) Qu'en déduis-tu pour l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle inscrit ?

ABC est un triangle isocèle en A, avec $AB = AC$. On note I le milieu de $[BC]$ et on constate que $(AI)$ est perpendiculaire à $(BC)$.
a) Donne trois noms différents pour la droite $(AI)$ dans ce triangle.
b) Justifie chacun de ces trois noms.

On trace un triangle ABC dont l'angle en B mesure $130^{\circ}$, avec $BC = 4\,\text{cm}$. On veut construire la hauteur issue de A.
a) Qu'a-t-on dû faire de particulier pour la tracer ?
b) Le pied de cette hauteur est-il sur le segment $[BC]$ ?

ABC est un triangle. La médiane issue de A coupe $[BC]$ en son milieu I. La hauteur issue de A mesure $h = 6\,\text{cm}$ et $BC = 10\,\text{cm}$.
a) Calcule l'aire du triangle ABI, puis celle du triangle AIC.
b) Que peut-on en conclure sur la médiane ?

Dans un triangle ABC, l'angle BAC mesure $76^{\circ}$ et l'angle ABC mesure $52^{\circ}$. La bissectrice de l'angle BAC coupe $[BC]$ en D.
a) Calcule l'angle BAD.
b) Calcule l'angle ADB.

Dans un triangle ABC, on décrit trois droites : $(d_1)$ passe par A et est perpendiculaire à $(BC)$ ; $(d_2)$ passe par le milieu de $[BC]$ et est perpendiculaire à $(BC)$ ; $(d_3)$ passe par A et par le milieu de $[BC]$.
a) Donne le nom de chacune de ces trois droites.
b) Dans quel cas $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$ sont-elles confondues ?