Droites du triangle : hauteurs, médianes et bissectrices

Karim affirme : « Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A et la médiane issue de A sont toujours la même droite. »
Écris une version correcte de l'affirmation de Karim.

ABC est un triangle. On note H le point de concours des trois hauteurs (l'orthocentre).
Trace ensuite un triangle rectangle en A : où se trouve précisément son orthocentre ? Justifie.

On découpe une plaque de carton en forme de triangle ABC. On veut la poser en équilibre en la posant sur la pointe d'un crayon.
Un élève propose de viser plutôt le centre du cercle circonscrit. Explique pourquoi ce n'est en général pas le même point, et donne un cas où les deux se confondent.

On admet la propriété suivante : les points situés à égale distance des deux côtés d'un angle sont exactement les points de la bissectrice de cet angle. Dans un triangle ABC, on trace la bissectrice de l'angle A et celle de l'angle B ; elles se coupent en I.
a) Que peut-on dire des distances de I aux droites (AB) et (AC) ? Justifie.
b) Même question pour les distances de I aux droites (BA) et (BC).
c) Déduis-en que I est aussi sur la bissectrice de l'angle C, sans la tracer, puis explique ce que cela permet de construire.

ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm.
Combien de droites remarquables différentes faut-il tracer pour obtenir le point où tout se croise ? Explique.

Un jardinier veut planter un arbre à égale distance de deux murs qui se rejoignent en formant un angle, et aussi à égale distance de deux arbres déjà plantés A et B.
Comment trouve-t-il alors l'emplacement exact de l'arbre ?

ABC est un triangle isocèle en A avec $AB = AC = 7\,\text{cm}$ et $BC = 6\,\text{cm}$. On note I le milieu de [BC].
Calcule BI, puis explique pourquoi (AI) est encore la bissectrice de l'angle BAC.

Trois routes rectilignes délimitent un terrain de forme triangulaire ABC. On veut aménager un rond-point à l'intérieur du terrain, à égale distance des trois routes.
La distance obtenue entre le rond-point et chaque route est de 12 m. Que représente le cercle de centre le rond-point et de rayon 12 m pour ce terrain ?

Dans un triangle ABC, on donne $BC = 8\,\text{cm}$ et la hauteur issue de A mesure 5 cm. On sait de plus que $AC = 10\,\text{cm}$.
Que remarques-tu : la hauteur est-elle d'autant plus grande que le côté est long ? Explique.

ABC est un triangle. La médiane issue de A coupe [BC] en son milieu I. On note h la longueur de la hauteur issue de A.
Montre que la médiane issue de A partage le triangle ABC en deux triangles de même aire, puis contrôle avec $BC = 10\,\text{cm}$ et $h = 6\,\text{cm}$.