Droites du triangle : hauteurs, médianes et bissectrices
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ABC est un triangle. On note H le point de concours des trois hauteurs (l'orthocentre).
a) Rappelle ce qu'est la hauteur issue de A, puis celle issue de B.
b) Trace un triangle ABC ayant un angle obtus (par exemple l'angle en A). Où se situe alors l'orthocentre H : à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ?
c) Trace ensuite un triangle rectangle en A. Où se trouve précisément l'orthocentre dans ce cas ? Justifie.✅ Voir le corrigéoffert
a) La hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé (BC). La hauteur issue de B est la droite passant par B et perpendiculaire au côté opposé (AC).
b) Lorsque l'angle en A est obtus, il faut prolonger les hauteurs en dehors du triangle pour les faire se couper. On constate alors que leur point de concours H se situe à l'extérieur du triangle.
c) Si le triangle est rectangle en A, les deux côtés [AB] et [AC] sont déjà perpendiculaires. La hauteur issue de B est perpendiculaire à (AC) : or (AB) est déjà perpendiculaire à (AC), donc cette hauteur est portée par (AB) et passe par A. De même, la hauteur issue de C est portée par (AC) et passe par A. Les deux hauteurs se coupent donc en A. Conclusion : dans un triangle rectangle, l'orthocentre est le sommet de l'angle droit, ici le point A.
Vérification : les deux côtés de l'angle droit sont eux-mêmes des hauteurs, ce qui confirme que H = A. - 2
Un jardinier veut planter un arbre à égale distance de deux murs qui se rejoignent en formant un angle, et aussi à égale distance de deux arbres déjà plantés A et B.
a) Pour être à égale distance des deux arbres A et B, sur quelle ligne doit-il se placer ? Justifie.
b) Pour être à égale distance des deux murs (les deux côtés de l'angle), quelle ligne doit-il suivre ? Justifie.
c) Comment trouve-t-il alors l'emplacement exact de l'arbre ?✅ Voir le corrigéoffert
a) Les points à égale distance de A et de B forment la médiatrice de [AB]. Le jardinier doit donc se placer sur la médiatrice de [AB] (propriété d'équidistance : MA = MB).
b) Les points à égale distance des deux côtés d'un angle forment la bissectrice de cet angle (la demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux). Il doit donc suivre la bissectrice de l'angle formé par les deux murs.
c) L'emplacement cherché est à la fois sur la médiatrice de [AB] et sur la bissectrice de l'angle : c'est le point d'intersection de ces deux lignes. Le jardinier les trace toutes les deux, et leur point de croisement donne l'endroit exact où planter l'arbre.
Remarque : bien distinguer les deux équidistances. La médiatrice, c'est « à égale distance de deux points » ; la bissectrice, c'est « à égale distance de deux droites ».
Remarque : si les deux lignes sont parallèles, il n'y a pas de solution ; sinon il y a un unique point. - 3
ABC est un triangle isocèle en A avec AB = AC = 7 cm et BC = 6 cm. On note I le milieu de [BC].
a) Justifie que la droite (AI) est la médiane issue de A.
b) Montre que (AI) est aussi la médiatrice de [BC], puis déduis-en que c'est aussi la hauteur issue de A.
c) Calcule BI, puis explique pourquoi (AI) est encore la bissectrice de l'angle BAC.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
ABC est un triangle. La médiane issue de A coupe [BC] en son milieu I. On note h la longueur de la hauteur issue de A.
a) Exprime l'aire du triangle ABI en fonction de BI et de h.
b) Fais de même pour l'aire du triangle AIC.
c) Déduis-en que la médiane issue de A partage le triangle ABC en deux triangles de même aire. Vérifie avec BC = 10 cm et h = 6 cm.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On admet la propriété suivante : les points situés à égale distance des deux côtés d'un angle sont exactement les points de la bissectrice de cet angle. Dans un triangle ABC, on trace la bissectrice de l'angle A et celle de l'angle B ; elles se coupent en I.
a) Que peut-on dire des distances de I aux droites (AB) et (AC) ? Justifie.
b) Même question pour les distances de I aux droites (BA) et (BC).
c) Déduis-en que I est aussi sur la bissectrice de l'angle C, sans la tracer, puis explique ce que cela permet de construire.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm.
a) Explique pourquoi la hauteur issue de A, la médiane issue de A et la bissectrice de l'angle A sont la même droite.
b) Que peut-on dire alors de l'orthocentre H, du centre de gravité G, du centre O du cercle circonscrit et du centre I du cercle inscrit ?
c) Combien de droites remarquables différentes faut-il finalement tracer pour obtenir ce point ? Explique.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Karim affirme : « Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A et la médiane issue de A sont toujours la même droite. »
a) Explique pourquoi cette affirmation est fausse, en décrivant un triangle où ce n'est visiblement pas le cas.
b) Dans quel cas particulier ces deux droites sont-elles pourtant confondues ? Justifie.
c) Reformule correctement l'affirmation de Karim.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Trois routes rectilignes délimitent un terrain de forme triangulaire ABC. On veut aménager un rond-point à l'intérieur du terrain, à égale distance des trois routes.
a) Explique pourquoi le rond-point doit être sur la bissectrice de l'angle A.
b) Explique comment le placer précisément avec deux tracés seulement.
c) La distance obtenue entre le rond-point et chaque route est de 12 m. Que représente le cercle de centre le rond-point et de rayon 12 m pour ce terrain ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Dans un triangle ABC, on donne BC = 8 cm et la hauteur issue de A mesure 5 cm. On sait de plus que AC = 10 cm.
a) Calcule l'aire du triangle ABC.
b) En prenant maintenant [AC] comme base, calcule la longueur de la hauteur issue de B.
c) Que remarques-tu : la hauteur est-elle d'autant plus grande que le côté est long ? Explique.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
On découpe une plaque de carton en forme de triangle ABC. On veut la poser en équilibre en la posant sur la pointe d'un crayon.
a) Quel point remarquable du triangle faut-il viser ? Justifie par son nom.
b) Décris précisément la construction de ce point sur la plaque, avec le nombre minimal de tracés.
c) Un élève propose de viser plutôt le centre du cercle circonscrit. Explique pourquoi ce n'est en général pas le même point, et donne un cas où les deux se confondent.
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