Droites du triangle : hauteurs, médianes et bissectrices

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux. Dans un triangle, les trois bissectrices se coupent en un point qui est le centre d'un cercle particulier. Comment s'appelle ce cercle et que touche-t-il ?

Trace un triangle EFG un peu allongé. Construis les trois hauteurs. Que remarques-tu sur ces trois droites ?

ABC est un triangle isocèle en $A (AB = AC)$. On appelle I le milieu de [BC] et on trace la droite (AI). On constate que (AI) est perpendiculaire à (BC).
Donne trois noms différents pour cette même droite (AI) dans ce triangle, et justifie chacun d'eux.

Décris, à la règle et au compas, la construction de la bissectrice d'un angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites [Ax) et [Ay).

Dans un triangle ABC, on appelle médiane issue de A la droite qui passe par A et par le milieu de [BC]. On trace les trois médianes. Comment s'appelle leur point de concours ?

Dans un triangle ABC, on décrit trois droites :
(d1) passe par A et est perpendiculaire à (BC) ;
(d2) passe par le milieu de [BC] et est perpendiculaire à (BC) ;
(d3) passe par A et par le milieu de [BC].
Donne le nom de chacune de ces trois droites.

Dans un triangle ABC, on a tracé les trois bissectrices ; elles se coupent en I. On trace le cercle inscrit de centre I et de rayon 2 cm.
Quelle est la distance entre I et chacun des trois côtés du triangle ? Explique pourquoi c'est la même pour les trois.

Dans un triangle ABC, on trace la médiane issue de A ; elle coupe [BC] en I. On sait que $BC = 9\,\text{cm}$.
Combien mesure BI ? Si on trace ensuite la médiane issue de B, que représente son point d'intersection avec la première ?

Dans un triangle ABC, l'angle BAC mesure $76^{\circ}$ et l'angle ABC mesure $52^{\circ}$. La bissectrice de l'angle BAC coupe le côté [BC] en D.
Calcule l'angle BAD, puis l'angle ADB.

Trace un triangle ABC dont l'angle en B est obtus (par exemple $120^{\circ}$), avec $BC = 4\,\text{cm}$. Construis la hauteur issue de A. Qu'as-tu dû faire de particulier ?