Les parallélogrammes

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1
ABCD est un parallélogramme de centre I.
Explique pourquoi $AB = CD$ .
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a) I est le milieu de [AC], donc le symétrique de A par rapport à I est le point C.
b) De la même façon, I est le milieu de [BD], donc le symétrique de B par rapport à I est le point D.
Le symétrique d'un segment est le segment qui relie les symétriques de ses extrémités : le symétrique de [AB] relie le symétrique de A (c'est C) et le symétrique de B (c'est D). C'est donc le segment [CD].
c) La symétrie par rapport à un point conserve les longueurs : un segment et son symétrique ont la même longueur. Comme [CD] est le symétrique de [AB], on a $AB = CD$ .
C'est une manière d'expliquer pourquoi les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.
2
Les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en I. On a $AI = (2x - 1)\,\text{cm}$ et $IC = (x + 4)\,\text{cm}$ .
Calcule la longueur de la diagonale AC.
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a) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc I est le milieu de [AC]. Cela signifie que $AI = IC$ .
b) On écrit l'équation : $2x - 1 = x + 4$ .
On enlève x des deux côtés : $x - 1 = 4$ , puis $x = 5$ .
c) $AI = 2 \times 5 - 1 = 9\,\text{cm}$ (et $IC = 5 + 4 = 9\,\text{cm}$ : c'est cohérent).
Comme I est le milieu de [AC], on a $AC = 2 \times AI = 2 \times 9 = 18\,\text{cm}$ .
3
ABCD est un parallélogramme. Le côté AB dépasse le côté BC de 3 cm et le périmètre vaut 38 cm.
Donne les longueurs AB et BC.
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4
ABCD est un parallélogramme de périmètre 48 cm. Le côté AB est trois fois plus long que le côté BC.
Les diagonales se coupent en I et on mesure $AC = 20\,\text{cm}$ . Calcule AI et explique ce que représente I pour les points B et D.
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5
ABCD est un parallélogramme. L'angle $\widehat{A}$ mesure $(5x + 10)^{\circ}$ et l'angle $\widehat{C}$ mesure $(7x - 20)^{\circ}$ .
Calcule la mesure des angles $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ .
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6
Dans le parallélogramme RSTU, les angles $\widehat{R}$ et $\widehat{S}$ vérifient $\widehat{R} - \widehat{S} = 46^{\circ}$ .
Donne la mesure des quatre angles.
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7
MNPQ est un parallélogramme. L'angle $\widehat{M}$ vaut les $\frac{2}{3}$ de l'angle $\widehat{N}$ .
Donne la mesure des quatre angles.
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8
Dans le parallélogramme MNPQ, l'angle $\widehat{M}$ est le double de l'angle $\widehat{Q}$ diminué de $30^{\circ}$ .
Donne la mesure des quatre angles.
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9
ABCD est un parallélogramme avec $AB = (3x + 2)\,\text{cm}$ et $BC = (x + 4)\,\text{cm}$ . Son périmètre vaut 40 cm.
Calcule les longueurs des quatre côtés.
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10
On considère un parallélogramme ABCD. On donne $AB = (5x - 3)\,\text{cm}$ , $DC = (2x + 9)\,\text{cm}$ et $BC = 7\,\text{cm}$ .
Les diagonales se coupent en I et on mesure $AC = 16\,\text{cm}$ et $BD = 12\,\text{cm}$ . Calcule AI et BI, puis dis si les diagonales ont la même longueur.
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