Distances et cercles

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1
Anna marche en ligne droite d'un point A vers un point B avec $AB = 40\,\text{m}$ . Elle passe par un point P tel que $AP = 15\,\text{m}$ , puis par un point Q milieu de [PB].
Calcule AQ.
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a) P est sur le segment [AB], donc $AP + PB = AB$ .
Donc $PB = AB - AP = 40 - 15 = 25\,\text{m}$ .
b) Q est le milieu de [PB], donc $PQ = QB = PB \div 2 = 25 \div 2 = 12{,}5\,\text{m}$ .
c) Q est entre A et B, avec A, P, Q dans cet ordre, donc $AQ = AP + PQ$ .
$AQ = 15 + 12{,}5 = 27{,}5\,\text{m}$ .
Pour en être sûr : $AQ + QB = 27{,}5 + 12{,}5 = 40 = AB$ . Cohérent.
2
Deux cercles de même centre O ont pour rayons 3 cm et 8 cm. La région entre les deux cercles s'appelle une couronne.
Donne une distance possible au centre pour un point qui n'est ni dans la couronne, ni sur les cercles, mais à l'intérieur du petit cercle.
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a) Un point est dans la couronne s'il est à l'extérieur du petit cercle (distance plus grande que 3 cm) et à l'intérieur du grand cercle (distance plus petite que 8 cm).
Ici la distance est 5 cm : 5 cm est plus grand que 3 cm et plus petit que 8 cm.
Donc oui, le point est dans la couronne.
b) Une distance de 8 cm est égale au rayon du grand cercle, donc le point est sur le grand cercle.
c) Un point à l'intérieur du petit cercle a une distance au centre plus petite que 3 cm.
Par exemple, une distance de 2 cm convient : le point est alors à l'intérieur du petit cercle, donc ni dans la couronne, ni sur les cercles.
3
On donne quatre points alignés A, B, C, D dans cet ordre. On sait que $AD = 30\,\text{cm}$ , $AB = BC$ et $CD = 8\,\text{cm}$ .
Calcule AC et BD.
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4
On considère un cercle de centre O et de rayon 6 cm. Une fourmi part d'un point A du cercle, marche jusqu'au centre O, puis continue tout droit dans la même direction jusqu'à ressortir du cercle en un point B.
Si à la place la fourmi s'arrête à 6 cm de A (toujours vers O puis au-delà), à quelle distance de O se trouve-t-elle ? Où est ce point par rapport au cercle ?
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5
Un cercle de centre O a un rayon de 7 cm. [AB] est un diamètre de ce cercle. Un point M du cercle est tel que le triangle OAM est un triangle où $OM = OA$ .
Le point O peut-il être sur le cercle ? Explique.
Le centre et le rayon !
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6
Deux points A et B sont distants de $AB = 12\,\text{cm}$ . On trace le cercle de centre A et de rayon 5 cm, et le cercle de centre B et de rayon 4 cm.
Existe-t-il un point du segment [AB] qui soit à la fois sur les deux cercles ? Justifie.
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7
Sur une droite, M est le milieu de [AB] et on sait que $AB = 18\,\text{cm}$ . Un point P est placé sur le segment [AM] tel que $AP = 4\,\text{cm}$ .
Calcule PB.
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8
Sur une droite, on place les points A, B, C, D dans cet ordre. On donne $AB = 5\,\text{cm}$ , $BD = 11\,\text{cm}$ et $CD = 4\,\text{cm}$ .
Calcule AD.
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9
Un trésor est caché à exactement 6 m d'un vieux chêne (point C) et à exactement 8 m d'un puits (point P). Le chêne et le puits sont distants de $CP = 10\,\text{m}$ .
Explique pourquoi il peut y avoir deux endroits possibles pour le trésor.
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10
Un cercle a pour centre O et pour diamètre 20 cm. Les points A, B, C sont tels que $OA = 10\,\text{cm}$ , $OB = 8\,\text{cm}$ , $OC = 12\,\text{cm}$ .
Pour chacun, précise sa position par rapport au cercle.
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